Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
Se não há intercepto no modelo de regressão, a soma dos u_{i} estimados ( =\widehat{u}_{i} ) não totalizará zero.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado afirma e o que preciso verificar. A afirmação é: “Se não há intercepto no modelo de regressão, a soma dos u_{i} estimados (ou seja, \widehat{u}_{i}) não totalizará zero.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira, falsa ou duvidosa, e explicar minuciosamente por quê, mostrando a teoria e exemplos numéricos.

Passo 2

Escrever o modelo e a definição de resíduos. Considere o modelo de regressão linear geral (sem assumir intercepto):
y = X\beta + u,
onde:
  • y é o vetor n\times1 de observações da variável dependente;
  • X é a matriz n\times k de regressoras (aqui NÃO incluímos uma coluna de uns, por hipótese);
  • \beta é o vetor k\times1 de parâmetros;
  • u é o vetor n\times1 dos erros verdadeiros.
    A estimativa OLS minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e produz
\widehat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y,
desde que X'X seja invertível. As previsões e resíduos estimados são
\widehat{y} = X\widehat{\beta},\qquad \widehat{u} = y - \widehat{y} = y - X\widehat{\beta}.

Passo 3

Derivar as equações normais e a propriedade matricial essencial. A condição de primeira ordem (equações normais) da minimização é
X'(y - X\widehat{\beta}) = 0.
Isto pode ser reescrito como
X'\widehat{u} = 0.
Esta é uma identidade muito importante: o vetor de resíduos estimados \widehat{u} é ortogonal a cada coluna de X. Em palavras: a soma dos produtos entre cada regressora e os resíduos estimados é zero.

Passo 4

Explorar a consequência quando existe intercepto. Se a matriz X contiver uma coluna formada por uns (coluna de intercepto), digamos que a primeira coluna de X é \mathbf{1} = (1,1,\dots,1)', então a equação X'\widehat{u}=0 tem, na sua primeira linha, exatamente
\mathbf{1}'\widehat{u} = \sum_{i=1}^n \widehat{u}_i = 0.
Portanto, quando o modelo inclui intercepto, a soma dos resíduos estimados é sempre zero. Isso é um resultado clássico e fácil de recordar: intercepto implica soma dos resíduos igual a zero.

Passo 5

Examinar o caso sem intercepto: consequência direta das equações normais. Se NÃO existe coluna de uns em X, a equação X'\widehat{u}=0 impõe apenas que \widehat{u} seja ortogonal às colunas de X. Isso não envolve necessariamente o vetor \mathbf{1}. Assim, nada nas equações normais obriga que
\sum_{i=1}^n \widehat{u}_i = \mathbf{1}'\widehat{u}
seja igual a zero. Em geral, \mathbf{1} não está na coluna espaço de X, logo \mathbf{1}'\widehat{u} não é forçosamente zero.

Passo 6

Demonstrar com um contraexemplo concreto que a soma pode ser zero mesmo sem intercepto (logo a afirmação “não totalizará zero” é muito forte). Considere regressão por origem (sem intercepto) com uma regressora x. Tomemos n=2, x = (1,2)' e y=(3,6)'. Regressão sem intercepto: o coeficiente é
\widehat{\beta} = \frac{\sum_i x_i y_i}{\sum_i x_i^2} = \frac{1\cdot3 + 2\cdot6}{1^2 + 2^2} = \frac{3+12}{1+4} = \frac{15}{5} = 3.
As previsões são \widehat{y} = 3 x = (3,6)' e os resíduos \widehat{u} = y - \widehat{y} = (0,0)'. Logo
\sum_{i=1}^2 \widehat{u}_i = 0.
Aqui não houve intercepto e, ainda assim, a soma dos resíduos deu zero. Portanto a afirmação absoluta “não totalizará zero” é falsa em sentido universal.

Passo 7

Mostrar um exemplo onde a soma dos resíduos é diferente de zero (para evidenciar que, em geral, soma pode não ser zero). Novamente n=2, x=(1,2)' e agora y=(1,0)'. Calcula-se
\widehat{\beta} = \frac{1\cdot1 + 2\cdot0}{1^2 + 2^2} = \frac{1}{5} = 0{,}2.
Previsões: \widehat{y} = 0{,}2\cdot x = (0{,}2, 0{,}4)'. Resíduos:
\widehat{u} = y - \widehat{y} = (1-0{,}2,\, 0-0{,}4) = (0{,}8, -0{,}4).
A soma é 0{,}8 + (-0{,}4) = 0{,}4 \neq 0. Assim, sem intercepto a soma dos resíduos pode ser diferente de zero.

Passo 8

Dar a condição exata para que a soma dos resíduos seja zero sem intercepto. A soma dos resíduos será zero se e somente se o vetor de uns \mathbf{1} pertencer ao espaço das colunas de X. Explicação rápida: se existir um vetor \gamma tal que \mathbf{1} = X\gamma, então
\mathbf{1}'\widehat{u} = \gamma' X' \widehat{u} = \gamma' 0 = 0,
usando X'\widehat{u}=0. Se não existir tal \gamma, então não há razão matemática para \mathbf{1}'\widehat{u} ser zero. Portanto a condição é exatamente: \mathbf{1}\in \text{col}(X).

Passo 9

Síntese didática e conclusão para a prova (linguagem direta e memorizável).
  • Se o modelo inclui intercepto (coluna de uns em X), então sempre vale \sum_i \widehat{u}_i = 0.
  • Se o modelo não inclui intercepto, a soma dos resíduos NÃO é garantidamente zero: pode ser zero em casos especiais (quando \mathbf{1} está no espaço das colunas de X) ou diferente de zero na maioria dos casos.
    Portanto, a afirmação dada — que sem intercepto a soma dos residuos “não totalizará zero” (no sentido de sempre ser diferente de zero) — é excessivamente categórica e incorreta como afirmação universal.

Resposta

Duvidosa

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