Verifique, explicando, de forma minuciosa, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas.
Se não há intercepto no modelo de regressão, a soma dos
estimados (
) não totalizará zero.
Se não há intercepto no modelo de regressão, a soma dos
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado afirma e o que preciso verificar. A afirmação é: “Se não há intercepto no modelo de regressão, a soma dos
estimados (ou seja,
) não totalizará zero.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira, falsa ou duvidosa, e explicar minuciosamente por quê, mostrando a teoria e exemplos numéricos.
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira, falsa ou duvidosa, e explicar minuciosamente por quê, mostrando a teoria e exemplos numéricos.
Passo 2
Escrever o modelo e a definição de resíduos. Considere o modelo de regressão linear geral (sem assumir intercepto):
onde:
-
é o vetor de observações da variável dependente; -
é a matriz de regressoras (aqui NÃO incluímos uma coluna de uns, por hipótese); -
é o vetor de parâmetros; -
é o vetor dos erros verdadeiros.
A estimativa OLS minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e produz
desde que
seja invertível. As previsões e resíduos estimados são
Passo 3
Derivar as equações normais e a propriedade matricial essencial. A condição de primeira ordem (equações normais) da minimização é
Isto pode ser reescrito como
Esta é uma identidade muito importante: o vetor de resíduos estimados
é ortogonal a cada coluna de
. Em palavras: a soma dos produtos entre cada regressora e os resíduos estimados é zero.
Passo 4
Explorar a consequência quando existe intercepto. Se a matriz
contiver uma coluna formada por uns (coluna de intercepto), digamos que a primeira coluna de
é
, então a equação
tem, na sua primeira linha, exatamente
Portanto, quando o modelo inclui intercepto, a soma dos resíduos estimados é sempre zero. Isso é um resultado clássico e fácil de recordar: intercepto implica soma dos resíduos igual a zero.
Passo 5
Examinar o caso sem intercepto: consequência direta das equações normais. Se NÃO existe coluna de uns em
, a equação
impõe apenas que
seja ortogonal às colunas de
. Isso não envolve necessariamente o vetor
. Assim, nada nas equações normais obriga que
seja igual a zero. Em geral,
não está na coluna espaço de
, logo
não é forçosamente zero.
Passo 6
Demonstrar com um contraexemplo concreto que a soma pode ser zero mesmo sem intercepto (logo a afirmação “não totalizará zero” é muito forte). Considere regressão por origem (sem intercepto) com uma regressora
. Tomemos
,
e
. Regressão sem intercepto: o coeficiente é
As previsões são
e os resíduos
. Logo
Aqui não houve intercepto e, ainda assim, a soma dos resíduos deu zero. Portanto a afirmação absoluta “não totalizará zero” é falsa em sentido universal.
Passo 7
Mostrar um exemplo onde a soma dos resíduos é diferente de zero (para evidenciar que, em geral, soma pode não ser zero). Novamente
,
e agora
. Calcula-se
Previsões:
. Resíduos:
A soma é
. Assim, sem intercepto a soma dos resíduos pode ser diferente de zero.
Passo 8
Dar a condição exata para que a soma dos resíduos seja zero sem intercepto. A soma dos resíduos será zero se e somente se o vetor de uns
pertencer ao espaço das colunas de
. Explicação rápida: se existir um vetor
tal que
, então
usando
. Se não existir tal
, então não há razão matemática para
ser zero. Portanto a condição é exatamente:
.
Passo 9
Síntese didática e conclusão para a prova (linguagem direta e memorizável).
- Se o modelo inclui intercepto (coluna de uns em
), então sempre vale . - Se o modelo não inclui intercepto, a soma dos resíduos NÃO é garantidamente zero: pode ser zero em casos especiais (quando
está no espaço das colunas de ) ou diferente de zero na maioria dos casos.
Portanto, a afirmação dada — que sem intercepto a soma dos residuos “não totalizará zero” (no sentido de sempre ser diferente de zero) — é excessivamente categórica e incorreta como afirmação universal.
Resposta
Duvidosa