Verifique se a expressão (em coordenadas cilíndricas) para um campo magnético produzido a partir de um fio infinito percorrido por corrente dado por:
é um campo real.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente checar se
é um “campo real” de magnetostática gerado por um fio infinito com corrente
.
Isso significa verificar duas coisas usando as equações de Maxwell para magnetostática:
Isso significa verificar duas coisas usando as equações de Maxwell para magnetostática:
- ∇·B = 0 (não existe “carga magnética”).
- ∇×B = μ₀ J (a corrente J tem que bater com um fio infinitamente fino no eixo).
Como estamos em coordenadas cilíndricas, vamos precisar das fórmulas de divergência e rotacional nesse sistema.
Passo 2
Calcular ∇·B em cilíndricas. A fórmula é
No nosso caso
-
-
(não depende de nem de ) -
.
Então
Show que ∇·B=0 para todo
. Tranquilo: não tem monopólo magnético.
Passo 3
Calcular ∇×B em cilíndricas. A parte que interessa é a componente
, pois a corrente viaja ao longo do eixo. A fórmula para o rotacional é
Como
e
, temos
para todo ponto com
. As componentes radial e azimutal também dão zero.
Isso mostra que fora do eixo não existe corrente volumétrica: ∇×B=0 em
.
Passo 4
Mas pela Lei de Ampère (forma integral):
Escolhendo um círculo de raio
em torno do fio,
Logo, mesmo que ∇×B seja zero para
, a integral não some. Isso só se explica se existir uma corrente “concentrada” no eixo, representada por
Aqui
é a função delta de Dirac, que “pega” toda a corrente no eixo.
Resposta
Sim, o campo
é um campo real de magnetostática:
- satisfaz
(sem monopólos magnéticos), - satisfaz
, ou seja, gera a corrente correta de um fio infinito no eixo.