Verifique se a expressão (em coordenadas cilíndricas) para um campo magnético produzido a partir de um fio infinito percorrido por corrente dado por:
B=mu0 i2 pi r phi=(0, mu0 i2 pi r, 0)
é um campo real.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente checar se
B(r,phi,z)=mu0,i2pi,r,hatphi
é um “campo real” de magnetostática gerado por um fio infinito com corrente .
Isso significa verificar duas coisas usando as equações de Maxwell para magnetostática:
  1. ∇·B = 0 (não existe “carga magnética”).
  2. ∇×B = μ₀ J (a corrente J tem que bater com um fio infinitamente fino no eixo).
    Como estamos em coordenadas cilíndricas, vamos precisar das fórmulas de divergência e rotacional nesse sistema.

Passo 2

Calcular ∇·B em cilíndricas. A fórmula é
nablacdot B =1r,partialpartial r(r,Br) +1r,partial Bphipartialphi +partial Bzpartial z
No nosso caso
  • nablacdot B =1r,partialpartial r(rcdot 0) +1r,partialpartialphil(mu0,i2pi,rr) +partialpartial z(0) =0+0+0=0
  • (não depende de nem de )
  • .
    Então
Show que ∇·B=0 para todo . Tranquilo: não tem monopólo magnético.

Passo 3

Calcular ∇×B em cilíndricas. A parte que interessa é a componente (nablatimes vec B)z =1r,partialpartial rl(r,Bphir) -1r,partial Brpartialphi , pois a corrente viaja ao longo do eixo. A fórmula para o rotacional é
(nablatimes vec B)z =1r,ddr!l(rcdotmu0,i2pi,rr) =1r,ddr!l(mu0,i2pir) =0
Como e , temos
para todo ponto com . As componentes radial e azimutal também dão zero.
Isso mostra que fora do eixo não existe corrente volumétrica: ∇×B=0 em .

Passo 4

Mas pela Lei de Ampère (forma integral):
oint vec Bcdot dvec l=mu0,irm total;encerrada
Escolhendo um círculo de raio oint Bphi;r,dphi =integral0^2pimu0,i2pi r,r,dphi =mu0,i em torno do fio,
vec J =i,de
Logo, mesmo que ∇×B seja zero para , a integral não some. Isso só se explica se existir uma corrente “concentrada” no eixo, representada por
Aqui é a função delta de Dirac, que “pega” toda a corrente no eixo.

Resposta

Sim, o campo
B=mu0i2pi r,hatphi
é um campo real de magnetostática:
  1. satisfaz (sem monopólos magnéticos),
  2. satisfaz , ou seja, gera a corrente correta de um fio infinito no eixo.

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