Dado o campo magnético:
B=a cos (b x) i+a b y sin (b x) j
Podemos considerá-lo um campo real?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá perguntando se o campo
B(x,y) = a cos(bx),imath + a,b,ysin(bx),jmath
pode “existir de verdade” como campo magnético.
Conteúdo: vetor, divergência e a regra do Maxwell que diz que nunca existem “monopolos magnéticos”, ou seja, .
O que vamos precisar:
  • Entender o que é divergência de um campo vetorial;
  • Saber calcular derivadas parciais;
  • Conhecer a regra de soma de derivadas (e produto) para verificar se é zero.

Passo 2

Primeiro, o que é divergência? É uma operação que pega um campo vetorial nablacdotvec F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z e retorna
No caso do nosso , ele só tem componentes e , então e a derivada em vai ser zero.

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
  1. partialpartial xl[acos(bx)r] = a l(-bsin(bx)r) = -a b sin(bx)
    • partialpartial yl[a,b,ysin(bx)r] = a,bsin(bx)cdot 1 = a b sin(bx) é constante, usa-se a regra da cadeia:
      .
    • Logo
    • Aqui é tratada como constante em relação a .
    • Temos , derivada de é 1, então

Passo 4

Agora soma tudo:
nablacdotvec B = l(-a bsin(bx)r) + l(a bsin(bx)r) + 0 = 0
Como a divergência é rigorosamente zero em todo ponto, a regra de Maxwell
está satisfeita.
Sem monopolos magnéticos ⇒ campo é fisicamente possível.

Resposta

Sim, podemos considerar esse campo como um campo magnético “real”, pois ele satisfaz .

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