Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\frac{x-3}{2}, para x \in[3,5].

Passo 1

O enunciado fornece a função (que vale zero fora do intervalo indicado):
f(x)=\frac{x-3}{2},\quad x\in[3,5].
As perguntas que o enunciado faz são:
  • Verificar se f é uma função densidade de probabilidade (pdf) — ou seja, checar as duas condições necessárias: (i) f(x)\ge 0 para todo x no domínio; (ii) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
  • Se for pdf, calcular a esperança \mathbb{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X), justificando os cálculos.

Passo 2

Condição de não-negatividade. Vou verificar que f(x)\ge 0 para x\in[3,5].
Para x\in[3,5] temos x-3\ge 0. Como f(x)=\dfrac{x-3}{2} e \dfrac{1}{2}>0, conclui-se que
f(x)\ge 0\qquad\text{para todo }x\in[3,5].
Fora de [3,5] a função vale 0 por hipótese, logo também não é negativa.

Passo 3

Condição de normalização (integral igual a 1). Calcular
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{3}^{5}\frac{x-3}{2}\,dx.
Faço a integral passo a passo. Primeiro fator fora:
\int_{3}^{5}\frac{x-3}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{3}^{5}(x-3)\,dx.
Agora a primitiva de x-3 é \tfrac{1}{2}(x-3)^2. Portanto
\frac{1}{2}\int_{3}^{5}(x-3)\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(x-3)^2\right]_{3}^{5}.
Avalio nos limites:
\left[\frac{1}{2}(x-3)^2\right]_{3}^{5}=\frac{1}{2}(5-3)^2-\frac{1}{2}(3-3)^2=\frac{1}{2}\cdot 4-0=2.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} externo:
\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Portanto \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.

Passo 4

Conclusão sobre ser pdf. Como f(x)\ge 0 em todo o domínio e a integral sobre \mathbb{R} é 1, a função dada é de fato uma função densidade de probabilidade.

Passo 5

Cálculo da esperança \mathbb{E}[X]. A definição para variável contínua é
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \int_{3}^{5} x\cdot\frac{x-3}{2}\,dx.
Simplifico o integrando:
x\cdot\frac{x-3}{2}=\frac{1}{2}(x^2-3x).
Logo
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{2}\int_{3}^{5}(x^2-3x)\,dx.
Calculo a integral termo a termo. As primitivas são \tfrac{1}{3}x^3 para x^2 e \tfrac{3}{2}x^2 para 3x. Assim
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2\right]_{3}^{5}.
Avalio em x=5:
\frac{1}{3}\cdot 5^3-\frac{3}{2}\cdot 5^2=\frac{125}{3}-\frac{75}{2}=\frac{250-225}{6}=\frac{25}{6}.
Avalio em x=3:
\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{3}{2}\cdot 3^2=9-\frac{27}{2}=-\frac{9}{2}.
Diferença:
\frac{25}{6}-\left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{25}{6}+\frac{27}{6}=\frac{52}{6}=\frac{26}{3}.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2}:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{2}\cdot\frac{26}{3}=\frac{13}{3}.

Passo 6

Cálculo de \mathbb{E}[X^2] (necessário para a variância). Pela definição,
\mathbb{E}[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,dx=\int_{3}^{5} x^2\cdot\frac{x-3}{2}\,dx.
Simplifico:
x^2\cdot\frac{x-3}{2}=\frac{1}{2}(x^3-3x^2).
Então
\mathbb{E}[X^2]=\frac{1}{2}\int_{3}^{5}(x^3-3x^2)\,dx.
As primitivas são \tfrac{1}{4}x^4 para x^3 e x^3 para 3x^2. Logo
\mathbb{E}[X^2]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}x^4 - x^3\right]_{3}^{5}.
Avalio em x=5:
\frac{1}{4}\cdot 5^4 - 5^3 = \frac{625}{4}-125=\frac{625-500}{4}=\frac{125}{4}.
Avalio em x=3:
\frac{1}{4}\cdot 3^4 - 3^3 = \frac{81}{4}-27=\frac{81-108}{4}=-\frac{27}{4}.
Diferença:
\frac{125}{4}-\left(-\frac{27}{4}\right)=\frac{152}{4}=38.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\mathbb{E}[X^2]=\frac{1}{2}\cdot 38=19.

Passo 7

Cálculo da variância. Usando \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2,
\mathrm{Var}(X)=19-\left(\frac{13}{3}\right)^2.
Calculo o quadrado:
\left(\frac{13}{3}\right)^2=\frac{169}{9}.
Transformo 19 em novenos: 19=\dfrac{171}{9}. Então
\mathrm{Var}(X)=\frac{171}{9}-\frac{169}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 8

Resumo final (tudo justificado): a função é uma pdf (não-negativa e integral 1). A esperança é \dfrac{13}{3} e a variância é \dfrac{2}{9}. Boa! Isso significa que a média está em torno de 4{,}33 e a dispersão (variância) é pequena, cerca de 0{,}222.

Resposta

Sim.
\mathbb{E}[X]=\dfrac{13}{3}
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{2}{9}

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