Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\frac{x-3}{2}, para x \in[3,5].
f(x):=\frac{x-3}{2}, para x \in[3,5].
Passo 1
O enunciado fornece a função (que vale zero fora do intervalo indicado):
As perguntas que o enunciado faz são:
- Verificar se
é uma função densidade de probabilidade (pdf) — ou seja, checar as duas condições necessárias: (i) para todo no domínio; (ii) . - Se for pdf, calcular a esperança
e a variância , justificando os cálculos.
Passo 2
Condição de não-negatividade. Vou verificar que
para
.
Para
temos
. Como
e
, conclui-se que
Fora de
a função vale
por hipótese, logo também não é negativa.
Passo 3
Condição de normalização (integral igual a 1). Calcular
Faço a integral passo a passo. Primeiro fator fora:
Agora a primitiva de
é
. Portanto
Avalio nos limites:
Multiplicando pelo
externo:
Portanto
.
Passo 4
Conclusão sobre ser pdf. Como
em todo o domínio e a integral sobre
é
, a função dada é de fato uma função densidade de probabilidade.
Passo 5
Cálculo da esperança
. A definição para variável contínua é
Simplifico o integrando:
Logo
Calculo a integral termo a termo. As primitivas são
para
e
para
. Assim
Avalio em
:
Avalio em
:
Diferença:
Multiplicando pelo
:
Passo 6
Cálculo de
(necessário para a variância). Pela definição,
Simplifico:
Então
As primitivas são
para
e
para
. Logo
Avalio em
:
Avalio em
:
Diferença:
Multiplicando por
:
Passo 7
Cálculo da variância. Usando
,
Calculo o quadrado:
Transformo
em novenos:
. Então
Passo 8
Resumo final (tudo justificado): a função é uma pdf (não-negativa e integral 1). A esperança é
e a variância é
. Boa! Isso significa que a média está em torno de
e a dispersão (variância) é pequena, cerca de
.
Resposta
Sim.