Questāo 4. (2.5 pontos) Verifique se as expressões a seguir sāo funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressões que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cáleulos. f(x):=\frac{x^{2}}{2}, para $x \in(0,+\infty).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f(x):=\frac{x^{2}}{2},\qquad x\in(0,+\infty),
(como dito, f(x)=0 fora desse intervalo) é uma função densidade de probabilidade. Se for uma densidade, calcular a esperança e a variância, justificando os cálculos.
Informações fornecidas:
A expressão da função é \dfrac{x^{2}}{2} para x\in(0,+\infty).
Fora de (0,+\infty) a função vale 0.
As tarefas são: (i) verificar se é densidade; (ii) se for, calcular \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X).
Passo 2
Relembrando (aqui explico direitinho o que significa ser uma densidade): uma função f é densidade de probabilidade contínua se satisfaz duas condições principais:
Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x no domínio.
Normalização: a integral sobre toda a reta é 1, isto é,
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1.
Também é útil lembrar como se trata integrais impróprias no caso de domínio infinito: a integral \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx é definida como o limite
Interpretação e conclusão: apesar de f(x)\ge 0, a integral total diverge para infinito, portanto a condição de normalização (\int f=1) NÃO é satisfeita. Assim, f não é uma função densidade de probabilidade no domínio dado.
Passo 8
Consequência prática sobre esperança e variância: as fórmulas usuais para esperança e variância de uma variável contínua X com densidade f são
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, \qquad \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2},
desde que essas integrais existam (sejam finitas). Como f não é densidade (a integral total não está normalizada), não faz sentido aplicar essas fórmulas aqui — as integrais relacionadas irão também divergir ou não representar probabilidades. Portanto a esperança e a variância não estão definidas no contexto de uma distribuição de probabilidade para essa função.
Resposta
Não é função densidade de probabilidade (a integral total diverge para +\infty).
Esperança: não definida (diverge).
Variância: não definida.