Questāo 4. (2.5 pontos) Verifique se as expressões a seguir sāo funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressões que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cáleulos.
f(x):=\frac{x^{2}}{2}, para $x \in(0,+\infty).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x):=\frac{x^{2}}{2},\qquad x\in(0,+\infty),
(como dito, f(x)=0 fora desse intervalo) é uma função densidade de probabilidade. Se for uma densidade, calcular a esperança e a variância, justificando os cálculos.
Informações fornecidas:
  • A expressão da função é \dfrac{x^{2}}{2} para x\in(0,+\infty).
  • Fora de (0,+\infty) a função vale 0.
  • As tarefas são: (i) verificar se é densidade; (ii) se for, calcular \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Relembrando (aqui explico direitinho o que significa ser uma densidade): uma função f é densidade de probabilidade contínua se satisfaz duas condições principais:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x no domínio.
  2. Normalização: a integral sobre toda a reta é 1, isto é,
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1.
Também é útil lembrar como se trata integrais impróprias no caso de domínio infinito: a integral \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx é definida como o limite
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b} f(x)\,dx,
quando esse limite existe (finito).

Passo 3

Verificação da não-negatividade: para x\in(0,+\infty) temos x^{2}\ge 0, então
f(x)=\frac{x^{2}}{2}\ge 0.
Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da normalização (a parte decisiva): calcular a integral total
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 para x\le 0, isso reduz-se a
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{2}\,dx.
Trata-se de uma integral imprópria; aplicamos a definição por limite:
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b} \frac{x^{2}}{2}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral interna. Primeiro integrar \dfrac{x^{2}}{2} em x:
\int \frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6}.
Agora avaliar o termo de 0 a b:
\int_{0}^{b} \frac{x^{2}}{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{6}\right|_{0}^{b} = \frac{b^{3}}{6} - 0 = \frac{b^{3}}{6}.

Passo 6

Tomar o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} \frac{b^{3}}{6} = +\infty.
Logo
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{2}\,dx = +\infty\neq 1.

Passo 7

Interpretação e conclusão: apesar de f(x)\ge 0, a integral total diverge para infinito, portanto a condição de normalização ( \int f=1) NÃO é satisfeita. Assim, f não é uma função densidade de probabilidade no domínio dado.

Passo 8

Consequência prática sobre esperança e variância: as fórmulas usuais para esperança e variância de uma variável contínua X com densidade f são
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx, \qquad \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2},
desde que essas integrais existam (sejam finitas). Como f não é densidade (a integral total não está normalizada), não faz sentido aplicar essas fórmulas aqui — as integrais relacionadas irão também divergir ou não representar probabilidades. Portanto a esperança e a variância não estão definidas no contexto de uma distribuição de probabilidade para essa função.

Resposta

Não é função densidade de probabilidade (a integral total diverge para +\infty).
Esperança: não definida (diverge).
Variância: não definida.

Exercícios relacionados