Verifique que:
(a) as extremidades dos arcos x e -x são simétricas em relação ao eixo das abscissas;
(b) as extremidades dos \operatorname{arcos} x e \pi-x são simétricas em relação ao eixo das ordenadas;
(c) as extremidades dos \operatorname{arcos} x e x+\pi são simétricas em relação à origem.
(d) Conclua que:
\begin{array}{lll} \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x & \cos (-x)=\cos x & \operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg} x \\\ \operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen} x & \cos (\pi-x)=-\cos x & \operatorname{tg}(\pi-x)=-\operatorname{tg} x \\\ \operatorname{sen}(\pi+x)=-\operatorname{sen} x & \cos (\pi+x)=-\cos x & \operatorname{tg}(\pi+x)=\operatorname{tg} x \end{array}

Passo 1

O enunciado nos pede para usar a interpretação geométrica dos pontos sobre o círculo trigonométrico para três pares de ângulos— x e -x, x e \pi - x, x e \pi + x—e mostrar que são simétricos, respectivamente, em relação ao eixo das abscissas, ao eixo das ordenadas e à origem. Em seguida, devemos tirar as consequências sobre as funções seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Seja P_x=(\cos x,\sin x) o ponto de extremidade do arco de medida x. O ponto de extremidade do arco de medida -x é
P_{-x}=(\cos(-x),\sin(-x)).
Geometricamente, P_{-x} é o reflexo de P_x sobre o eixo das abscissas, logo tem mesma coordenada x e sinal trocado na coordenada y. Daí
\cos(-x)=\cos x, \qquad \sin(-x)=-\sin x.

Passo 3

O ponto de extremidade do arco de medida \pi - x é
P_{\pi - x}=\bigl(\cos(\pi-x),\,\sin(\pi-x)\bigr).
Esse é o reflexo de P_x sobre o eixo das ordenadas, pois muda o sinal da coordenada x e conserva a de y. Logo
\cos(\pi - x)=-\cos x, \qquad \sin(\pi - x)=\sin x.

Passo 4

O ponto de extremidade do arco de medida \pi + x é
P_{\pi + x}=\bigl(\cos(\pi+x),\,\sin(\pi+x)\bigr),
que é a rotação de P_x de \pi radianos, i.e.\ o reflexo de P_x pela origem, invertendo os dois sinais:
\cos(\pi + x)=-\cos x, \qquad \sin(\pi + x)=-\sin x.

Passo 5

Como a tangente é \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}, basta dividir as expressões adequadas dos senos e cossenos para obter as simetrias de \tan.

Resposta

\sin(-x)=-\sin x \cos(-x)=\cos x \tan(-x)=-\tan x \sin(\pi-x)=\sin x \cos(\pi-x)=-\cos x \tan(\pi-x)=-\tan x \sin(\pi+x)=-\sin x \cos(\pi+x)=-\cos x \tan(\pi+x)=\tan x

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