Verifique que as extremidades dos \operatorname{arcos} x e \frac{\pi}{2}-x são simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Conclua que
\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x, \quad \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{sen} x, \quad \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os lados terminais dos arcos x e \tfrac{\pi}{2}-x são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares e, a partir daí, deduzir as identidades \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}-x)=\cos x, \cos(\tfrac{\pi}{2}-x)=\operatorname{sen} x e \operatorname{tg}(\tfrac{\pi}{2}-x)=\operatorname{cotg} x.

Passo 2

A bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) é a reta
y = x,
que faz ângulo \pi/4 com o eixo Ox. A reflexão de um ponto (a,b) nessa reta resulta em (b,a).

Passo 3

Na circunferência trigonométrica, o ponto que corresponde ao ângulo x é
P = (\cos x, \operatorname{sen} x).
Refletindo o raio desse ângulo na reta y=x, trocamos a diferença de ângulo em relação a \pi/4, de modo que o novo raio faz ângulo
\pi/4 + (\pi/4 - x) = \pi/2 - x
com Ox. O ponto refletido é
P' = (\operatorname{sen} x, \cos x),
e pertence ao arco correspondente a \tfrac{\pi}{2}-x.

Passo 4

Como P' está no arco \tfrac{\pi}{2}-x, suas coordenadas fornecem
\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=\operatorname{sen} x
e
\operatorname{sen}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=\cos x.

Passo 5

A tangente é dada por
\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\Bigr) =\frac{\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}-x)}{\cos(\tfrac{\pi}{2}-x)} =\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} =\operatorname{cotg} x.

Resposta

\operatorname{sen}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=\cos x, \quad \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=\operatorname{sen} x, \quad \operatorname{tg}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=\operatorname{cotg} x.

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