Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função
é contínua. A função é definida de duas formas:
Para verificar a continuidade, vamos precisar entender sobre limites e o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.
Passo 2
Vamos primeiro analisar a continuidade em pontos onde
. Nesse caso, a função é uma razão de duas funções contínuas (raízes quadradas e cúbicas são contínuas onde estão definidas), então
é contínua para todo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 4
Calculando o limite:
Para resolver, podemos substituir
, mas isso resulta em indeterminação
. Então, vamos usar a expansão em série de Taylor ou fatorar o numerador e denominador.
Passo 5
Vamos racionalizar o numerador e denominador:
Para o numerador
, multiplicamos por
:
Para o denominador
, usamos a identidade:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 6
Agora, substituímos
:
Então, o limite quando
se aproxima de 1 é
.
Passo 7
Comparando com o valor da função em
:
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua para todo
, incluindo
.