verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( c1 e c2 são constantes). x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0
y = c1 x + c2 x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E uma função proposta:
Nosso objetivo é verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de e substituí-las na equação para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra básica da derivada: a derivada de é 1 e a derivada de é , multiplicando pelos coeficientes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
A derivada de uma constante é zero, então a derivada de é 0, e a derivada de é .

Passo 4

Com , e calculados, vamos substituir esses valores na equação diferencial original:
Vamos desenvolver cada termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos desenvolvidos:
Vamos simplificar combinando termos semelhantes:
Então, a soma total é:

Resposta

Como ao substituir , e na equação diferencial obtemos , isso confirma que a função é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

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