Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(b) R: y = 4x - x^2, y = x;

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região R em torno de um eixo. A região R é delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar as duas equações para encontrar esses pontos:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as soluções são x = 0 e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo [0, 3]. Escolhemos um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 1:
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Usando o método dos discos, a fórmula para o volume V é:
onde f(x) é a função superior ( ) e g(x) é a função inferior ( x), e a e b são os limites de integração ( 0 e ).

Passo 6

Substituindo as funções e os limites na fórmula:

Passo 7

Vamos expandir :
Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 9

Calculando nos limites de 0 a :
Para :
Para x = 0:

Passo 10

Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da regi��o R em torno do eixo E é unidades cúbicas.

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