Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. Dados do problema:
- Equação diferencial:
- Função candidata:
- Observação:
e são constantes (mas aqui a função específica não as mostra; ficou só a função candidata acima).
O que é pedido: checar se, ao substituir a função candidata na equação diferencial, a igualdade é satisfeita para todo
. A resolução começará calculando as derivadas necessárias e substituindo na equação.
Passo 2
Estratégia (método): para verificar se uma função
é solução de uma equação diferencial ordinária, calcula-se
e
explicitamente e substitui-se na expressão
. Se a expressão se reduzir a zero (para todo
), então a função é solução. Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar:
- Regra da cadeia:
(a é constante). - Regra do produto:
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Parto de
Derivo termo a termo.
Derivada de
: pela regra da cadeia,
Derivada de
: uso a regra do produto com
e
.
Então
Somando as duas partes:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
.
Derivada de
:
Derivada de
: aplico novamente a regra do produto com constante 2 factorizada:
Somando:
Passo 5
Substituir
,
e
na expressão
e simplificar.
Escrevo a substituição:
Agora distribuo os fatores:
Agrupo termos semelhantes separando os coeficientes de
e de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto a soma é zero:
Passo 6
Conclusão final do cálculo: a expressão obtida ao substituir a função candidata na equação diferencial é identicamente zero para todo
. Portanto a função dada satisfaz a equação diferencial.
Comentário didático adicional (útil para prova): a equação característica associada a
é
, que tem raiz dupla
. Por isso a solução geral da EDO homogênea é
. A função dada é exatamente um caso particular dessa forma com
e
, o que explica por que ela funciona.
Resposta
Sim; a função
satisfaz
.