Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=0 ; y=e^{2 x}+x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. Dados do problema:
  • Equação diferencial: \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0.
  • Função candidata: y = e^{2x} + x e^{2x}.
  • Observação: c_{1} e c_{2} são constantes (mas aqui a função específica não as mostra; ficou só a função candidata acima).
O que é pedido: checar se, ao substituir a função candidata na equação diferencial, a igualdade é satisfeita para todo x. A resolução começará calculando as derivadas necessárias e substituindo na equação.

Passo 2

Estratégia (método): para verificar se uma função y(x) é solução de uma equação diferencial ordinária, calcula-se \frac{dy}{dx} e \frac{d^{2}y}{dx^{2}} explicitamente e substitui-se na expressão \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\frac{dy}{dx}+4y. Se a expressão se reduzir a zero (para todo x), então a função é solução. Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar:
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax} (a é constante).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Calcular a primeira derivada \dfrac{dy}{dx}. Parto de y = e^{2x} + x e^{2x}.
Derivo termo a termo.
Derivada de e^{2x}: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Derivada de x e^{2x}: uso a regra do produto com u(x)=x e v(x)=e^{2x}.
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2e^{2x}.
Então
\frac{d}{dx}\big(x e^{2x}\big)=1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}+2x e^{2x}.
Somando as duas partes:
\frac{dy}{dx}=2e^{2x} + \big(e^{2x}+2x e^{2x}\big)=3e^{2x}+2x e^{2x}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} derivando \dfrac{dy}{dx}=3e^{2x}+2x e^{2x}.
Derivada de 3e^{2x}:
\frac{d}{dx}\big(3e^{2x}\big)=3\cdot 2e^{2x}=6e^{2x}.
Derivada de 2x e^{2x}: aplico novamente a regra do produto com constante 2 factorizada:
\frac{d}{dx}\big(2x e^{2x}\big)=2\big(\frac{d}{dx}(x e^{2x})\big)=2\big(e^{2x}+2x e^{2x}\big)=2e^{2x}+4x e^{2x}.
Somando:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6e^{2x} + \big(2e^{2x}+4x e^{2x}\big)=8e^{2x}+4x e^{2x}.

Passo 5

Substituir \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \dfrac{dy}{dx} e y na expressão \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y e simplificar.
Escrevo a substituição:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\frac{dy}{dx}+4y = \big(8e^{2x}+4x e^{2x}\big) - 4\big(3e^{2x}+2x e^{2x}\big) + 4\big(e^{2x}+x e^{2x}\big).
Agora distribuo os fatores:
= 8e^{2x}+4x e^{2x} -12e^{2x}-8x e^{2x} +4e^{2x}+4x e^{2x}.
Agrupo termos semelhantes separando os coeficientes de e^{2x} e de x e^{2x}:
  • Coeficiente de e^{2x}: 8 - 12 + 4 = 0.
  • Coeficiente de x e^{2x}: 4 - 8 + 4 = 0.
Portanto a soma é zero:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\frac{dy}{dx}+4y = 0.

Passo 6

Conclusão final do cálculo: a expressão obtida ao substituir a função candidata na equação diferencial é identicamente zero para todo x. Portanto a função dada satisfaz a equação diferencial.
Comentário didático adicional (útil para prova): a equação característica associada a \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0 é r^{2}-4r+4=0, que tem raiz dupla r=2. Por isso a solução geral da EDO homogênea é \big(c_{1}+c_{2}x\big)e^{2x}. A função dada é exatamente um caso particular dessa forma com c_{1}=1 e c_{2}=1, o que explica por que ela funciona.

Resposta

Sim; a função y=e^{2x}+x e^{2x} satisfaz \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0.

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