Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime}+2 x y=1 ; y=e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t+c_{1} e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
  • Equação diferencial: y^{\prime}+2 x y=1.
  • Função candidata: y=e^{-x^{2}} \displaystyle\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt + c_{1} e^{-x^{2}}, onde c_{1} é uma constante.
    A tarefa é substituir essa função na equação y^{\prime}+2 x y e checar se o resultado é igual a 1 para todo x.

Passo 2

Primeiro vou preparar notações e lembrar regras que vou usar, com explicação curta:
  • Defino \displaystyle I(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de I é I'(x)=e^{x^{2}}.
  • Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x), (u v)'=u'v+u v'.
  • Derivada de e^{-x^{2}}: usar cadeia. Se u(x)=-x^{2}, então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u'(x)=-2x, logo \dfrac{d}{dx}e^{-x^{2}}=-2x e^{-x^{2}}.

Passo 3

Calculo a derivada y'(x) passo a passo. Escrevo y como soma de duas parcelas:
y(x)=e^{-x^{2}}I(x)+c_{1}e^{-x^{2}}.
Derivando a primeira parcela usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}I(x)\bigr)=\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)'\,I(x)+e^{-x^{2}}\,I'(x).
Substituindo \bigl(e^{-x^{2}}\bigr)'=-2x e^{-x^{2}} e I'(x)=e^{x^{2}}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}I(x)\bigr)=-2x e^{-x^{2}}I(x)+e^{-x^{2}}e^{x^{2}}.
Como e^{-x^{2}}e^{x^{2}}=1, essa derivada é
-2x e^{-x^{2}}I(x)+1.
Agora derivo a segunda parcela c_{1}e^{-x^{2}}. Como c_{1} é constante:
\frac{d}{dx}\bigl(c_{1}e^{-x^{2}}\bigr)=c_{1}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)'=c_{1}(-2x e^{-x^{2}})=-2x c_{1} e^{-x^{2}}.
Somando as duas partes, a derivada total é
y'(x)=-2x e^{-x^{2}}I(x)+1-2x c_{1} e^{-x^{2}}.

Passo 4

Agora calculo y'(x)+2x y(x). Substituo y' (obtido acima) e y (dado):
\begin{aligned} y'(x)+2x y(x) &=\bigl(-2x e^{-x^{2}}I(x)+1-2x c_{1} e^{-x^{2}}\bigr) +2x\bigl(e^{-x^{2}}I(x)+c_{1}e^{-x^{2}}\bigr). \end{aligned}
Distribuo o 2x e reorganizo termos:
\begin{aligned} y'(x)+2x y(x) &=-2x e^{-x^{2}}I(x)+1-2x c_{1} e^{-x^{2}} +2x e^{-x^{2}}I(x)+2x c_{1}e^{-x^{2}}. \end{aligned}
Agora observo que os termos envolvendo I(x) se cancelam:
-2x e^{-x^{2}}I(x)+2x e^{-x^{2}}I(x)=0,
e os termos com c_{1} também se cancelam:
-2x c_{1} e^{-x^{2}}+2x c_{1} e^{-x^{2}}=0.
Fica então
y'(x)+2x y(x)=1.
Portanto, a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita para todo x.

Passo 5

Breve explicação didática de onde vem essa forma de solução (método do fator integrante), para que saiba usar em provas:
  • A equação é linear de primeira ordem: y'+2x y=1. O fator integrante é \mu(x)=\exp\!\bigl(\int 2x\,dx\bigr)=\exp(x^{2})=e^{x^{2}}.
  • Multiplicando a equação por \mu obtém-se (\mu y)'=\mu\cdot 1, isto é \dfrac{d}{dx}(e^{x^{2}}y)=e^{x^{2}}.
  • Integrando ambos os lados de 0 até x:
e^{x^{2}}y(x)-e^{0}y(0)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt.
  • Isolando y(x)
y(x)=e^{-x^{2}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt + e^{-x^{2}}y(0).
Aqui c_{1}=y(0) é a constante de integração, o que coincide com a forma dada na questão. (Se a constante fosse escrita de outra forma, basta notar que qualquer constante multiplicada por e^{-x^{2}} é a parte homogênea da solução.)

Resposta

Sim. A função y=e^{-x^{2}}\displaystyle\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt + c_{1} e^{-x^{2}} satisfaz a equação diferencial y^{\prime}+2 x y=1 para todo x e para qualquer constante c_{1}.

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