Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial. As informações fornecidas são:
- Equação diferencial:
. - Função candidata:
, onde é uma constante.
A tarefa é substituir essa função na equaçãoe checar se o resultado é igual a para todo .
Passo 2
Primeiro vou preparar notações e lembrar regras que vou usar, com explicação curta:
- Defino
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de é . - Regra do produto: para duas funções
e , . - Derivada de
: usar cadeia. Se , então . Aqui , logo .
Passo 3
Calculo a derivada
passo a passo. Escrevo
como soma de duas parcelas:
Derivando a primeira parcela usando a regra do produto:
Substituindo
e
, obtemos
Como
, essa derivada é
Agora derivo a segunda parcela
. Como
é constante:
Somando as duas partes, a derivada total é
Passo 4
Agora calculo
. Substituo
(obtido acima) e
(dado):
Distribuo o
e reorganizo termos:
Agora observo que os termos envolvendo
se cancelam:
e os termos com
também se cancelam:
Fica então
Portanto, a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita para todo
.
Passo 5
Breve explicação didática de onde vem essa forma de solução (método do fator integrante), para que saiba usar em provas:
- A equação é linear de primeira ordem:
. O fator integrante é . - Multiplicando a equação por
obtém-se , isto é . - Integrando ambos os lados de
até :
- Isolando
dá
Aqui
é a constante de integração, o que coincide com a forma dada na questão. (Se a constante fosse escrita de outra forma, basta notar que qualquer constante multiplicada por
é a parte homogênea da solução.)
Resposta
Sim. A função
satisfaz a equação diferencial
para todo
e para qualquer constante
.