e pede para verificar se isso pode ser a função de distribuição acumulada (CDF) de um vetor aleatório (X,Y). Para isso, precisamos checar as condições básicas de uma CDF bidimensional:
Limites em -\infty são zero e em +\infty é 1.
F é não decrescente em cada variável.
F é “2-increasing”: as probabilidades de retângulos no plano são não negativas.
Passo 2
Checamos os limites em infinidades:
Se x\to-\infty ou y\to-\infty, a definição “caso contrário” impõe F=0.
Logo, as condições de limites em infinito estão satisfeitas.
Passo 3
Para ser CDF, a função deve ser não decrescente em x e em y e ainda satisfazer que a massa associada a qualquer retângulo [x_1,x_2]\times[y_1,y_2] seja não negativa. Basta ver o sinal da densidade conjunta formal
Isso mostra que a “densidade” seria negativa em todo o primeiro quadrante, o que viola a não decrescência de F e a propriedade de 2-increasing.
Resposta
A função F(x,y) não é função de distribuição de nenhum vetor aleatório, pois sua segunda derivada mista é negativa, implicando probabilidades negativas.