Verifique se a função a seguir é função de distribuição de algum vetor aleatório.
F(x, y)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}-\mathrm{y}}, & \text { se } x \geq 0 \text { e } y \geq 0 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x,y)= \begin{cases} 1 - e^{-(x+y)},&\text{se }x\ge0\text{ e }y\ge0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede para verificar se isso pode ser a função de distribuição acumulada (CDF) de um vetor aleatório (X,Y). Para isso, precisamos checar as condições básicas de uma CDF bidimensional:
  1. Limites em -\infty são zero e em +\infty é 1.
  2. F é não decrescente em cada variável.
  3. F é “2-increasing”: as probabilidades de retângulos no plano são não negativas.

Passo 2

Checamos os limites em infinidades:
  • Se x\to-\infty ou y\to-\infty, a definição “caso contrário” impõe F=0.
  • Se x\to+\infty e y\to+\infty, então
\lim_{x,y\to+\infty}F(x,y) =\lim_{x,y\to+\infty}\bigl(1-e^{-(x+y)}\bigr) =1-0=1.
Logo, as condições de limites em infinito estão satisfeitas.

Passo 3

Para ser CDF, a função deve ser não decrescente em x e em y e ainda satisfazer que a massa associada a qualquer retângulo [x_1,x_2]\times[y_1,y_2] seja não negativa. Basta ver o sinal da densidade conjunta formal
f(x,y) =\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}F(x,y).
Em x>0,y>0 temos
\frac{\partial F}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1-e^{-(x+y)}\bigr) =e^{-(x+y)},
\frac{\partial^2 F}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-(x+y)}\bigr) =-\,e^{-(x+y)}<0.
Isso mostra que a “densidade” seria negativa em todo o primeiro quadrante, o que viola a não decrescência de F e a propriedade de 2-increasing.

Resposta

A função F(x,y) não é função de distribuição de nenhum vetor aleatório, pois sua segunda derivada mista é negativa, implicando probabilidades negativas.

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