Verifique que a função 
  é uma solução para o PVI
 
no intervalo 
  para qualquer escolha do parâmetro 
 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função 
  e precisamos verificar se ela é solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais e iremos calcular as derivadas da função 
  para substituir na equação dada. Precisaremos saber como calcular derivadas e substituir na equação para verificar se a função satisfaz todas as condições.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de 
  em relação a 
 . A função dada é:
A derivada de 
  em relação a 
  é:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de 
 :
Passo 4
Vamos substituir 
 , 
  e 
  na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
- Multiplicando 
por :  
- Multiplicando 
por :  
- Multiplicando 
por :  
Agora, reunindo tudo:
Passo 6
Simplificando os termos semelhantes:
Portanto, a equação reduz para:
Passo 7
Como a igualdade é verdadeira para qualquer valor de 
 , isso mostra que a função 
  satisfaz a equação diferencial dada para qualquer constante 
 .
Passo 8
Agora, vamos verificar as condições iniciais:
- 
:  
Está correto.
- 
:  
Também está correto, independente do valor de 
 .
Resposta
A função 
  é uma solução do PVI dado para qualquer valor do parâmetro 
 .