Verifique se as funções abaixo são injetivas e/ou sobrejetivas. Em cada caso, determine Im(f).
(a) f: R R, f(x)=4 x^3+3

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon RtoR, f(x)=4x^3+3
e pede para verificar se ela é injetiva, sobrejetiva e determinar Im(f). Vamos usar a definição de injetividade (se f(a)=f(b) então a=b), o comportamento no infinito para sobrejetividade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Para injetividade, suponha f(a)=f(b). Então
f(a)=f(b)implies 4(a^3-b^3)=0implies (a-b)(a^2+ab+b^2)=0
Se aneq b, teríamos a^2+ab+b^2>0 para quaisquer a,binR, o que não anula o produto. Logo a única possibilidade é a-b=0, ou seja a=b. Portanto f é injetiva.

Passo 3

Para sobrejetividade, note que
limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=-infty
Como f é contínua (é polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário ela atinge todo valor real entre -infty e +infty. Logo f é sobrejetiva e
Im(f)=R

Resposta

f é injetiva e sobrejetiva (bijetiva).
Im(f)=R.

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