Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+1,2 y, x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A pergunta é: essa função é uma transformação linear?
Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação é linear se ela cumprir duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se a função atende a essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, observamos a função T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 1, 2(y1 + y2), (x1 + x2) + (y1 + y2)) . Vamos ver se ela passa pelo teste da adição.
Seja T(u) + T(v) = (x1 + 1, 2y1, x1 + y1) + (x2 + 1, 2y2, x2 + y2) = (x1 + x2 + 2, 2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2) e . Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
  • A primeira componente de é , enquanto a primeira componente de é . Já encontramos uma diferença!

Passo 3

Além disso, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (cx + 1, 2cy, cx + cy) um escalar e cT(u) = c(x + 1, 2y, x + y) = (c(x + 1), 2c y, c(x + y)) = (cx + c, 2cy, cx + cy) . Então:
E:
Aqui, a primeira componente de é , enquanto a primeira componente de é . A não ser que , essas duas não são iguais.

Resposta

Não, a função não é uma transformação linear.

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