Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. A pergunta é: essa função é uma transformação linear?
Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação
é linear se ela cumprir duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar se a função
atende a essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, observamos a função
. Vamos ver se ela passa pelo teste da adição.
Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
- A primeira componente de
é , enquanto a primeira componente de é . Já encontramos uma diferença!
Passo 3
Além disso, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
E:
Aqui, a primeira componente de
é
, enquanto a primeira componente de
é
. A não ser que
, essas duas não são iguais.
Resposta
Não, a função
não é uma transformação linear.