Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida por
. O objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem uma transformação linear: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar essas propriedades para testar se
se comporta como uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer dois vetores
e
em
, a função
deve satisfazer:
Vamos calcular cada parte:
Expandindo:
Agora, vamos calcular
:
Comparando as duas expressões:
Vemos que
a menos que
, o que não é geral.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer escalar
e vetor
, a função
deve satisfazer:
Vamos calcular cada parte:
Agora,
Comparando:
Isso mostra que a homogeneidade não é satisfeita para valores gerais de
.
Resposta
Como a função
não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade de forma geral, ela não é uma transformação linear.