Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^2 R definida por T(x, y)=x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por . O objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem uma transformação linear: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar essas propriedades para testar se se comporta como uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Isso significa que, para quaisquer dois vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e u + v = (x1 + x2, y1 + y2) em T(u + v) = (x1 + x2) cdot (y1 + y2) , a função (x1 + x2) cdot (y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 deve satisfazer:
T(u) = x1 y1
Vamos calcular cada parte:
T(v) = x2 y2
T(u) + T(v) = x1 y1 + x2 y2
Expandindo:
(x1 + x2) cdot (y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 neq x1 y1 + x2 y2
Agora, vamos calcular :
Comparando as duas expressões:
Vemos que a menos que , o que não é geral.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer escalar T(c cdot u) = c cdot T(u) e vetor c cdot u = (c x, c y) , a função T(c cdot u) = (c x) cdot (c y) = c^2 x y deve satisfazer:
c^2 x y neq c x y a menos que c = 0 ou c = 1
Vamos calcular cada parte:
Agora,
Comparando:
Isso mostra que a homogeneidade não é satisfeita para valores gerais de .

Resposta

Como a função não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade de forma geral, ela não é uma transformação linear.

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