Seja
o operador linear definido na base canônica por
e
. Determine
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um operador linear
definido nas bases canônicas de
. Isso significa que sabemos como
atua nos vetores padrão
,
e
. Nosso objetivo é descobrir como
age em qualquer vetor
de
. Para isso, vamos usar os conceitos de operadores lineares e combinação linear.
Passo 2
Como
é um operador linear, podemos expressar
como uma combinação linear das imagens dos vetores da base canônica. Ou seja:
Isso significa que multiplicamos cada imagem do vetor base pelo seu respectivo coeficiente (x, y ou z) e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos substituir as imagens conhecidas de
nos vetores da base:
Substituindo na equação do passo anterior:
Passo 4
Vamos realizar a multiplicação escalares:
Agora, somamos os resultados:
Passo 5
Somando os vetores componente a componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto:
Resposta
O operador linear
é dado por: