Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace bidimensional, em coordenadas cartesianas. Justifique a sua resposta.
u(x, y)=e^y cos (x).

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos que verificar se a função $ u(x, y) = e^{y} \cos(x) $ satisfaz a equação de Laplace bidimensional em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de Laplace e calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, a equação de Laplace em duas dimensões é dada por:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Isso significa que somando as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $, o resultado deve ser zero para que a função satisfaça a equação.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Agora, calculamos a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
x

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u
E a segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $:
y

Passo 5

Agora, somamos as segundas derivadas parciais que calculamos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = -e^y cos(x) + e^y cos(x) = 0
Como o resultado da soma é zero, isso significa que a função $ u(x, y) $ satisfaz a equação de Laplace bidimensional.

Resposta

Sim, a função $ u(x, y) = e^{y} \cos(x) $ satisfaz a equação de Laplace bidimensional.

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