Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace bidimensional, em coordenadas cartesianas. Justifique a sua resposta.
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Passo 1
Vamos analisar o problema: temos que verificar se a função $ u(x, y) = e^{y} \cos(x) $ satisfaz a equação de Laplace bidimensional em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de Laplace e calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, a equação de Laplace em duas dimensões é dada por:
Isso significa que somando as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $, o resultado deve ser zero para que a função satisfaça a equação.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Agora, calculamos a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
E a segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, somamos as segundas derivadas parciais que calculamos:
Como o resultado da soma é zero, isso significa que a função $ u(x, y) $ satisfaz a equação de Laplace bidimensional.
Resposta
Sim, a função $ u(x, y) = e^{y} \cos(x) $ satisfaz a equação de Laplace bidimensional.