Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace bidimensional, em coordenadas cartesianas. Justifique a sua resposta.
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Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício sobre a equação de Laplace bidimensional em coordenadas cartesianas. A equação de Laplace é usada para ver se uma função é harmônica, ou seja, se ela satisfaz essa equação específica. Vamos precisar calcular as segundas derivadas da função em relação a $ x $ e $ y $ e ver se a soma delas dá zero. A função que vamos verificar é:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função $ u $ em relação a $ x $. Lembra que a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função $ u $ em relação a $ x $. A gente já sabe que a derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $. Então:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a variável $ y $. Primeiro, a primeira derivada da função $ u $ em relação a $ y $ é:
E então, a segunda derivada em relação a $ y $ é:
Passo 5
Agora, a gente soma as duas segundas derivadas que calculamos:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas não é zero ($ -2 \sin(x) \sin(y) \neq 0 $), a função $ u(x, y) = \sin(x) \sin(y) $ não satisfaz a equação de Laplace bidimensional.