Verifique se (1,2,3),(1,0,2) e (1,0,0) geram \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,2,3),\quad v_2 = (1,0,2),\quad v_3 = (1,0,0)
e pede para verificar se eles geram \mathbb{R}^3. Para isso usamos o critério de que três vetores em \mathbb{R}^3 geram todo o espaço exatamente quando são linearmente independentes, o que equivale a a matriz formada por eles ter determinante diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O critério diz que, se \det(A)\neq0, então \{v_1,v_2,v_3\} é um conjunto gerador de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&0\\\ 2&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 3&0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 3&2\end{pmatrix} =0 - 0 + (2\cdot2 - 0\cdot3) =4.

Passo 4

Como \det(A)=4\neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim, os vetores (1,2,3), (1,0,2) e (1,0,0) geram \mathbb{R}^3.

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