Verifique a identidade trigonométrica dada.
(b) \cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\cos z_{1} \cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{1} \operatorname{sen} z_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula de adição de cossenos, ou seja, mostrar que
\cos\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr) = \cos z_{1}\,\cos z_{2} - \sin z_{1}\,\sin z_{2}.
O conteúdo usado será a fórmula de Euler para funções trigonométricas em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Recordamos as fórmulas de Euler:
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2\,i}.

Passo 3

Usando a definição de cosseno em termos de exponenciais, temos
\cos\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr) = \frac{e^{\,i(z_{1}+z_{2})} + e^{-\,i(z_{1}+z_{2})}}{2} = \frac{e^{i z_{1}}\,e^{i z_{2}} + e^{-i z_{1}}\,e^{-i z_{2}}}{2}.

Passo 4

Agora expandimos o lado direito \cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2} usando as fórmulas de Euler:
\cos z_{1}\cos z_{2} = \frac{(e^{i z_{1}}+e^{-i z_{1}})(e^{i z_{2}}+e^{-i z_{2}})}{4}
\sin z_{1}\sin z_{2} = \frac{(e^{i z_{1}}-e^{-i z_{1}})(e^{i z_{2}}-e^{-i z_{2}})}{-4}
Subtraindo-os,
\cos z_{1}\cos z_{2} - \sin z_{1}\sin z_{2} = \frac{e^{i z_{1}}e^{i z_{2}} + e^{i z_{1}}e^{-i z_{2}} + e^{-i z_{1}}e^{i z_{2}} + e^{-i z_{1}}e^{-i z_{2}} \;-\;\bigl(-e^{i z_{1}}e^{i z_{2}} + e^{i z_{1}}e^{-i z_{2}} + e^{-i z_{1}}e^{i z_{2}} - e^{-i z_{1}}e^{-i z_{2}}\bigr)}{4}.
No numerador os termos cruzados cancelam, sobrando apenas
2\,e^{i(z_{1}+z_{2})} + 2\,e^{-i(z_{1}+z_{2})},
de modo que
\cos z_{1}\cos z_{2} - \sin z_{1}\sin z_{2} = \frac{2\bigl(e^{i(z_{1}+z_{2})} + e^{-i(z_{1}+z_{2})}\bigr)}{4} = \frac{e^{i(z_{1}+z_{2})} + e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2},
que é exatamente \cos(z_{1}+z_{2}).

Passo 5

Como as duas expressões coincidem, concluímos que a identidade está verificada.

Resposta

A identidade
\cos\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr) = \cos z_{1}\cos z_{2} - \sin z_{1}\sin z_{2}
é verdadeira.

Exercícios relacionados