Verifique a identidade trigonométrica dada.
(c) \overline{\cos z}=\cos \bar{z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z, vale
\overline{\cos z} \;=\;\cos\bigl(\bar z\bigr).
Vamos usar a definição de cosseno para número complexo e a propriedade de conjugação de exponenciais.

Passo 2

Pela definição,
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}.
Aplicando conjugação,
\overline{\cos z} = \frac{\overline{e^{i z}} + \overline{e^{-i z}}}{2}.
Como para qualquer número complexo w vale \overline{e^{w}} = e^{\overline{w}}, temos
\overline{e^{i z}} = e^{\overline{i z}} = e^{-\,i\,\bar z}, \quad \overline{e^{-i z}} = e^{\overline{-i z}} = e^{\,i\,\bar z}.
Substituindo,
\overline{\cos z} = \frac{e^{-\,i\,\bar z} + e^{\,i\,\bar z}}{2} = \cos\bigl(\bar z\bigr).

Resposta

\overline{\cos z} = \cos\bigl(\bar z\bigr).

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