Verifique as identidades:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
Informações fornecidas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita é
.
O objetivo é mostrar, passo a passo, que as duas expressões são iguais para quaisquer númerose .
Passo 2
Lembra da identidade chamada “diferença de quadrados”? Ela é muito útil aqui. Ela diz que, para quaisquer números
e
,
Explicando por que isso vale: multiplica-se
e observa-se que os termos mistos se cancelam:
Aqui
e
representam qualquer número (real ou complexo).
Passo 3
Aplicamos a identidade da diferença de quadrados escolhendo
e
. Então podemos reescrever
como
Esse é um passo-chave: transformamos a diferença de quartas potências em produto de duas diferenças/quadrados.
Passo 4
Agora fatoramos novamente a parte
usando a mesma identidade (diferença de quadrados) com
e
:
Para ver que isso é correto, basta expandir:
Passo 5
Substituindo o fator encontrado em
obtemos
que é exatamente a identidade que tínhamos que verificar.
Passo 6
Para ficar totalmente seguro, faz-se uma verificação numérica simples. Por exemplo, tome
e
. Então
As duas partes coincidem, como esperado.