Verifique as identidades:
x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)\left(x^{2}+a^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)\left(x^{2}+a^{2}\right).
Informações fornecidas:
  • A expressão à esquerda é \,x^{4}-a^{4}\,.
  • A expressão à direita é (x-a)(x+a)\left(x^{2}+a^{2}\right).
    O objetivo é mostrar, passo a passo, que as duas expressões são iguais para quaisquer números x e a.

Passo 2

Lembra da identidade chamada “diferença de quadrados”? Ela é muito útil aqui. Ela diz que, para quaisquer números u e v,
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v).
Explicando por que isso vale: multiplica-se (u-v)(u+v) e observa-se que os termos mistos se cancelam:
(u-v)(u+v)=u^{2}+uv-uv-v^{2}=u^{2}-v^{2}.
Aqui u e v representam qualquer número (real ou complexo).

Passo 3

Aplicamos a identidade da diferença de quadrados escolhendo u=x^{2} e v=a^{2}. Então podemos reescrever \,x^{4}-a^{4}\, como
x^{4}-a^{4}=(x^{2})^{2}-(a^{2})^{2}=(x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2}).
Esse é um passo-chave: transformamos a diferença de quartas potências em produto de duas diferenças/quadrados.

Passo 4

Agora fatoramos novamente a parte \,x^{2}-a^{2}\, usando a mesma identidade (diferença de quadrados) com u=x e v=a:
x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Para ver que isso é correto, basta expandir:
(x-a)(x+a)=x^{2}+xa-xa-a^{2}=x^{2}-a^{2}.

Passo 5

Substituindo o fator encontrado em \,(x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2})\, obtemos
x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)\left(x^{2}+a^{2}\right),
que é exatamente a identidade que tínhamos que verificar.

Passo 6

Para ficar totalmente seguro, faz-se uma verificação numérica simples. Por exemplo, tome x=3 e a=1. Então
\text{LHS}=x^{4}-a^{4}=3^{4}-1^{4}=81-1=80,
\text{RHS}=(x-a)(x+a)\left(x^{2}+a^{2}\right)=(3-1)(3+1)(3^{2}+1^{2})=2\cdot4\cdot10=80.
As duas partes coincidem, como esperado.

Resposta

x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)\left(x^{2}+a^{2}\right)

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