Resolva as inequações:
\frac{x}{x-3} \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x}{x-3} \leq 3.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve uma fração racional \dfrac{x}{x-3}.
  • O denominador (x-3) não pode ser zero, portanto x\neq 3.
  • Queremos todos os x reais que satisfaçam a desigualdade (valores que tornam a expressão menor ou igual a 3).

Passo 2

Colocar tudo num único membro para trabalhar com uma única expressão racional. Subtraio 3 dos dois lados:
\frac{x}{x-3} - 3 \leq 0.
Coloco em um único quociente, usando o mesmo denominador (x-3):
\frac{x}{x-3} - 3 = \frac{x - 3(x-3)}{x-3}.

Passo 3

Faço a álgebra do numerador passo a passo:
x - 3(x-3) = x - 3x + 9 = -2x + 9.
Logo a inequação fica
\frac{-2x+9}{x-3} \leq 0.

Passo 4

Explico a ideia do método de sinais (muito usado em inequações racionais):
  • Uma fração \dfrac{N(x)}{D(x)} tem sinal determinado pelos sinais do numerador N(x) e do denominador D(x).
  • Pontos críticos são as raízes do numerador (onde a fração pode valer 0) e as raízes do denominador (onde a fração é indefinida).
  • Para \leq 0 queremos as regiões onde a fração é negativa ou igual a zero. Zeros do numerador são incluídos (se o denominador não for zero aí); zeros do denominador sempre excluídos.

Passo 5

Encontro os pontos críticos:
  • Numerador -2x+9=0
-2x+9=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{9}{2}.
  • Denominador x-3=0
x=3,
que é ponto onde a expressão é indefinida (não pode ser solução).

Passo 6

Faço a análise de sinal dividindo a reta em intervalos pelos pontos críticos x=3 e x=\tfrac{9}{2}. Testo um valor em cada intervalo.
Intervalo 1: x<3. Ex.: x=0.
-2x+9\big|_{x=0}=9>0,\qquad x-3\big|_{x=0}=-3<0.
Sinal da fração: + dividido por - = -. Logo a fração é negativa aqui, portanto satisfaz \leq 0.
Intervalo 2: 3<x<\tfrac{9}{2}. Ex.: x=4.
-2x+9\big|_{x=4}=9-8=1>0,\qquad x-3\big|_{x=4}=1>0.
Sinal da fração: + dividido por + = +. Aqui a fração é positiva, não satisfaz \leq 0.
Intervalo 3: x>\tfrac{9}{2}. Ex.: x=5.
-2x+9\big|_{x=5}=9-10=-1<0,\qquad x-3\big|_{x=5}=2>0.
Sinal da fração: - dividido por + = -. Aqui a fração é negativa, satisfaz \leq 0.

Passo 7

Verifico os pontos críticos em si:
  • Em x=\tfrac{9}{2} o numerador é zero e o denominador é \tfrac{9}{2}-3=\tfrac{3}{2}\neq0, então a fração vale 0 e como queremos \leq 0 esse ponto é incluído.
  • Em x=3 a expressão é indefinida (denominador zero), então x=3 é excluído.

Passo 8

Concluo a solução unindo os intervalos onde a desigualdade é satisfeita: todos os x<3 (intervalo aberto até 3) e todos os x\ge \tfrac{9}{2} (incluindo \tfrac{9}{2}). Em notação de intervalo:
(-\infty,\,3)\cup\left[\tfrac{9}{2},\,\infty\right).

Resposta

(-\infty,\,3)\cup\left[\tfrac{9}{2},\,\infty\right)

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