Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{-\infty}^{0} z e^{z^{2}} d z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} z e^{z^{2}}\,dz
é convergente e, se possível, calcular o seu valor. Informações dadas:
  • O integrando é z e^{z^{2}}, definido para todo z\in\mathbb{R}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,0], ou seja, há uma singularidade do tipo intervalo infinito no limite inferior.
    A integral é, portanto, do tipo impróprio por limite infinito no extremo esquerdo; vamos tratá‑la como um limite de integrais propriamente definidas.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria neste caso: escrever
\int_{-\infty}^{0} z e^{z^{2}}\,dz = \lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{0} z e^{z^{2}}\,dz,
e estudar se esse limite existe finito. Se o limite for um número real finito, dizemos que a integral converge; se o limite for +\infty, -\infty ou não existir, dizemos que diverge.

Passo 3

Encontrar uma primitiva do integrando. Note que a derivada da função \,e^{z^{2}}\, é
\frac{d}{dz}e^{z^{2}} = 2z e^{z^{2}},
pela regra da cadeia. Assim uma primitiva de z e^{z^{2}} é
\frac{1}{2}e^{z^{2}},
porque derivando \tfrac{1}{2}e^{z^{2}} volta z e^{z^{2}}. Aqui explico a ideia: se F'(z)=f(z), então \int f(z)\,dz=F(z)+C; usamos que F(z)=\tfrac{1}{2}e^{z^{2}} funciona.

Passo 4

Calcular a integral definida \int_{A}^{0} z e^{z^{2}}\,dz usando a primitiva:
\int_{A}^{0} z e^{z^{2}}\,dz = \left.\tfrac{1}{2}e^{z^{2}}\right|_{z=A}^{z=0} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{0}-e^{A^{2}}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{A^{2}}\bigr).

Passo 5

Agora tomar o limite quando A\to -\infty. Observe que A^{2}\to +\infty quando A\to -\infty, então e^{A^{2}}\to +\infty. Portanto
\lim_{A\to -\infty}\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{A^{2}}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(1-+\infty\bigr) = -\infty.
Isso significa que o limite não é um número finito: a integral diverge, mais precisamente tende a -\infty. Intuição rápida: para z<0 o fator z é negativo e e^{z^{2}} cresce muito rápido quando |z| aumenta, então a área acumulada para a esquerda diverge negativamente.

Passo 6

Conclusão prática e dica para provas: reconhecer derivada de e^{z^{2}} foi a chave rápida; sempre que o integrando tiver a forma z\cdot e^{z^{2}} (ou constante vezes) procure a primitiva imediata. Depois avalie os limites nos extremos; se aparecer e^{A^{2}} com A\to\pm\infty, espere divergência exponencial.

Resposta

A integral diverge; \displaystyle \int_{-\infty}^{0} z e^{z^{2}}\,dz = -\infty.

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