Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{0}^{\infty} e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-2 x}\, d x
é convergente e, se for, que calculemos o seu valor. As informações dadas são:
  • Integrando: \,e^{-2x}\,.
  • Intervalo de integração: de \,0 até \,\infty.
  • Trata-se de uma integral imprópria porque o intervalo é infinito (o limite superior é \infty).

Passo 2

Como a integral é imprópria por causa do intervalo infinito, interpretamos-a como um limite de integrais próprias. Isto significa definir, para \emph{cada} número real \,b>0,
I(b)=\int_{0}^{b} e^{-2 x}\, d x,
e então estudar o limite
\int_{0}^{\infty} e^{-2 x}\, d x=\lim_{b\to\infty} I(b).
Se esse limite existir finito, dizemos que a integral imprópria converge e esse será o seu valor.

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma antiderivada (primitiva) de \,e^{-2x}. Uma forma sistemática de ver isso é lembrar a regra: para constante \,k\neq0,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{k x}\bigr)=k e^{k x},
logo uma antiderivada de e^{k x} é \dfrac{1}{k}e^{k x}. Aqui temos k=-2, portanto uma antiderivada de e^{-2x} é
\frac{1}{-2}e^{-2x}=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
(Se preferir, pode ver por substituição: com u=-2x tem du=-2\,dx e \int e^{-2x}dx=\int e^{u}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}du\bigr)=-\tfrac{1}{2}e^{u}+const.)

Passo 4

Calculemos I(b) usando a antiderivada encontrada:
I(b)=\int_{0}^{b} e^{-2 x}\, d x=\Bigl[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Bigr]_{x=0}^{x=b} =-\tfrac{1}{2}e^{-2b}-\bigl(-\tfrac{1}{2}e^{0}\bigr) =-\tfrac{1}{2}e^{-2b}+\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty} I(b)=\lim_{b\to\infty}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2b}+\tfrac{1}{2}\right).
Sabemos que \displaystyle\lim_{b\to\infty} e^{-2b}=0 porque a função exponencial com expoente negativo decai para zero quando o argumento vai para +\infty. Portanto o limite é
-\tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria converge (o limite existe e é finito) e seu valor é \tfrac{1}{2}.

Resposta

Converge e \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-2 x}\, d x=\tfrac{1}{2}

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