Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a integral imprópria
é convergente e, se for, que calculemos o seu valor. As informações dadas são:
- Integrando:
. - Intervalo de integração: de
até . - Trata-se de uma integral imprópria porque o intervalo é infinito (o limite superior é
).
Passo 2
Como a integral é imprópria por causa do intervalo infinito, interpretamos-a como um limite de integrais próprias. Isto significa definir, para \emph{cada} número real
,
e então estudar o limite
Se esse limite existir finito, dizemos que a integral imprópria converge e esse será o seu valor.
Passo 3
Agora precisamos encontrar uma antiderivada (primitiva) de
. Uma forma sistemática de ver isso é lembrar a regra: para constante
,
logo uma antiderivada de
é
. Aqui temos
, portanto uma antiderivada de
é
(Se preferir, pode ver por substituição: com
tem
e
const.)
Passo 4
Calculemos
usando a antiderivada encontrada:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Sabemos que
porque a função exponencial com expoente negativo decai para zero quando o argumento vai para
. Portanto o limite é
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria converge (o limite existe e é finito) e seu valor é
.
Resposta
Converge e