Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Pede-se verificar se a integral imprópria \displaystyle \int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx é convergente e, se for, calcular seu valor.\n
  • Informação dada: o integrando é \displaystyle \frac{1}{x(\ln x)^{2}} e o intervalo de integração é [e,\infty). Note que o problema é impróprio por causa do limite superior infinito.

Passo 2

O que significa integral imprópria e como testar convergência\n
  • Uma integral com limite infinito da forma \displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx é definida como o limite
\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty} \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Dizemos que a integral converge se esse limite existir e for finito; caso contrário diverge.\n
  • Então aqui vamos calcular \displaystyle \lim_{b\to\infty} \int_{e}^{b} \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx. Se esse limite existir finito, temos convergência e o valor será esse limite.

Passo 3

Escolher método de integração (substituição) e justificar\n
  • Observação prática: o integrando tem a forma \dfrac{1}{x} multiplicada por uma função de \ln x. Isso sugere a substituição
u=\ln x,
porque então du=\dfrac{1}{x}\,dx.\n
  • Essa substituição transforma a integral em uma forma mais simples em u. Vamos aplicar isso ao integral definida \int_{e}^{b}.

Passo 4

Aplicar a substituição e mudar os limites\n
  • Com u=\ln x temos du=\dfrac{1}{x}\,dx. Portanto
\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx = \frac{1}{u^{2}}\,du.
  • Mudança dos limites: quando x=e vem u=\ln e=1. Quando x=b vem u=\ln b.\n
  • Assim
\int_{e}^{b} \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx = \int_{1}^{\ln b} \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 5

Calcular a antiderivada e a integral definida em u\n
  • A função u^{-2} tem antiderivada dada pela regra do poder:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u}+C.
  • Portanto a integral definida é
\int_{1}^{\ln b} \frac{1}{u^{2}}\,du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{u=1}^{u=\ln b} = -\frac{1}{\ln b} -\Big(-\frac{1}{1}\Big) = 1 - \frac{1}{\ln b}.

Passo 6

Tomar o limite quando b\to\infty e concluir sobre convergência\n
  • Agora voltamos à definição da integral imprópria:
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left(1 - \frac{1}{\ln b}\right).
  • Como \ln b \to \infty quando b\to\infty, segue que \dfrac{1}{\ln b}\to 0. Logo o limite é 1-0=1.\n
  • Conclusão: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria converge e seu valor é 1.

Passo 7

Comentário útil para a prova (generalização rápida)\n
  • Uma ideia prática para lembrar: para integrais da forma
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{p}}\,dx,
fazendo u=\ln x transforma em \int_{1}^{\infty} u^{-p}\,du, que converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=2>1, então já era de esperar convergência — além disso conseguimos calcular o valor exato.

Resposta

A integral converge e vale \;1.

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