Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Pede-se verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular seu valor.\n - Informação dada: o integrando é
e o intervalo de integração é . Note que o problema é impróprio por causa do limite superior infinito.
Passo 2
O que significa integral imprópria e como testar convergência\n
- Uma integral com limite infinito da forma
é definida como o limite
- Dizemos que a integral converge se esse limite existir e for finito; caso contrário diverge.\n
- Então aqui vamos calcular
. Se esse limite existir finito, temos convergência e o valor será esse limite.
Passo 3
Escolher método de integração (substituição) e justificar\n
- Observação prática: o integrando tem a forma
multiplicada por uma função de . Isso sugere a substituição
porque então
.\n
- Essa substituição transforma a integral em uma forma mais simples em
. Vamos aplicar isso ao integral definida .
Passo 4
Aplicar a substituição e mudar os limites\n
- Com
temos . Portanto
- Mudança dos limites: quando
vem . Quando vem .\n - Assim
Passo 5
Calcular a antiderivada e a integral definida em
\n
- A função
tem antiderivada dada pela regra do poder:
- Portanto a integral definida é
Passo 6
Tomar o limite quando
e concluir sobre convergência\n
- Agora voltamos à definição da integral imprópria:
- Como
quando , segue que . Logo o limite é .\n - Conclusão: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria converge e seu valor é
.
Passo 7
Comentário útil para a prova (generalização rápida)\n
- Uma ideia prática para lembrar: para integrais da forma
fazendo
transforma em
, que converge se, e somente se,
. No nosso caso
, então já era de esperar convergência — além disso conseguimos calcular o valor exato.
Resposta
A integral converge e vale
.