Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x+x^{2}}}\\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+x^{2}}}
é convergente ou divergente. Informações e observações dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x+x^{2}}}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Há um possível problema no extremo x=0, pois x+x^{2}=0 quando x=0, o que pode tornar o integrando singular aí.
  • Não há problemas com x=1 (o integrando é finito em x=1).
As perguntas implícitas que vamos responder:
  • A integral imprópria existe (ou seja, o limite que define a integral impropria é finito)?
  • Se for convergente, qual é seu valor (se possível calcular)?

Passo 2

Definição e estratégia inicial (como lidar com integrais impróprias):
  • Quando o integrando tem singularidade no extremo a do intervalo [a,b], a integral imprópria é definida como o limite
\int_{a}^{b} f(x)\,dx := \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx,
se esse limite existir e for finito.
  • No nosso caso a=0 e f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+x^{2}}}. Então devemos analisar
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x+x^{2}}}.
  • Duas abordagens úteis (e complementares) para decidir convergência: (i) comparar o comportamento do integrando próximo de 0 com uma função conhecida cuja integral é convergente/divergente; (ii) tentar calcular a integral indefinida (ou a integral definida com limite) por substituição apropriada. Vou fazer as duas: primeiro a substituição que permite calcular exatamente, e depois comento a comparação clássica para entender o porquê da convergência.

Passo 3

Avaliação exata por substituição (escolha da substituição e cálculo passo a passo):
  • Observe que
\frac{1}{\sqrt{x+x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x(1+x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+x}}.
Uma substituição que simplifica esse tipo de produto é x=\tan^{2}\theta. Vamos aplicar:
  • Tome x=\tan^{2}\theta. Então
dx=2\tan\theta\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Calcule \sqrt{x(1+x)}:
\sqrt{x(1+x)}=\sqrt{\tan^{2}\theta\,(1+\tan^{2}\theta)}=\tan\theta\operatorname{sec}\theta,
onde usamos \tan\theta\ge 0 e \operatorname{sec}\theta\ge 0 no intervalo de \theta que nos interessa (veremos os limites abaixo).
  • Substituindo tudo no integrando:
\frac{dx}{\sqrt{x(1+x)}}=\frac{2\tan\theta\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\tan\theta\operatorname{sec}\theta}=2\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
  • Agora os limites: quando x=0 temos \tan^{2}\theta=0\Rightarrow \theta=0. Quando x=1 temos \tan^{2}\theta=1\Rightarrow \tan\theta=1\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{4} (escolhemos o ângulo no primeiro quadrante).
  • Portanto a integral definida (para \varepsilon pequeno corresponde a \theta pequeno) transforma-se em
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+x^{2}}}= \int_{0}^{\pi/4} 2\operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Cálculo da integral de \operatorname{sec}\theta e avaliação dos limites:
  • Uma antiderivada conhecida é
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
(Segundo uma demonstração rápida: multiplica-se por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e observa-se que a derivada do denominador aparece no numerador.)
  • Assim
\int_{0}^{\pi/4} 2\operatorname{sec}\theta\,d\theta = 2\left[\ln\bigl(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr)\right]_{0}^{\pi/4}.
  • Avaliando nos limites:
\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},\qquad \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,
\operatorname{sec} 0 =1,\qquad \tan 0 =0.
Portanto
2\left(\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-\ln(1)\right)=2\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).
  • Como obtivemos um valor finito e bem definido, isso demonstra que o limite que define a integral imprópria existe e é finito, logo a integral é convergente, com valor 2\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Passo 5

Comentário adicional (teste por comparação, útil na prova quando não for possível integrar exatamente):
  • Próximo de x=0 tem-se x+x^{2}=x(1+x)\approx x (pois 1+x\to 1 quando x\to 0). Então
\frac{1}{\sqrt{x+x^{2}}}\sim \frac{1}{\sqrt{x}}.
  • O teste-p para integrais na vizinhança de zero diz que
\int_{0}^{1} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p<1. Aqui x^{-1/2} corresponde a p=\tfrac{1}{2}<1, logo \int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx converge; por comparação (ou comportamento assintótico) a nossa integral também é convergente. Isso é um atestado alternativo rápido de convergência sem calcular o valor exato.

Resposta

Convergente; valor 2\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

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