Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} d x, \alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\,dx,\quad \alpha>0
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O integrando é \;e^{-\alpha x}\; com parâmetro \alpha>0.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, é um caso de integral imprópria devido ao limite superior infinito.
  • A pergunta é: a integral existe como um número finito (converge) ou diverge (tende a infinito ou não tem limite)?

Passo 2

Lembrando a definição de integral imprópria em intervalo infinito: dizer que
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
converge significa que o limite
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} f(x)\,dx
existe e é finito. Ou seja, para resolver a questão basta calcular a integral definida \int_{0}^{b} e^{-\alpha x}\,dx e então tomar o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Calcular a antiderivada de \;e^{-\alpha x}\;. Para isso use a regra básica: se u(x)=-\alpha x, então u'(x)=-\alpha e
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha x}\right)= -\frac{1}{\alpha}\cdot(-\alpha)e^{-\alpha x}=e^{-\alpha x}.
Portanto uma primitiva é
\int e^{-\alpha x}\,dx=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha x}+C.

Passo 4

Avaliar a integral definida de 0 até b usando a primitiva encontrada:
\int_{0}^{b} e^{-\alpha x}\,dx=\left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha x}\right]_{0}^{b} = -\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha b}-\left(-\frac{1}{\alpha}e^{0}\right).
Como e^{0}=1, isso simplifica para
\int_{0}^{b} e^{-\alpha x}\,dx=\frac{1}{\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha b}\bigr).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando b\to\infty. Como \alpha>0, o número -\alpha b tende a -\infty quando b\to\infty, e portanto
\lim_{b\to\infty} e^{-\alpha b}=0.
Assim
\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} e^{-\alpha x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{1}{\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha b}\bigr) =\frac{1}{\alpha}\bigl(1-0\bigr)=\frac{1}{\alpha}.

Passo 6

Conclusão didática e dica rápida para a prova: a integral converge porque a exponencial negativa decai muito rápido (quando \alpha>0), e dá exatamente \dfrac{1}{\alpha}. Em provas, calcular a primitiva e tomar o limite é a maneira direta. Observação adicional útil: como a função é não negativa, a convergência implica também convergência absoluta.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\,dx=\frac{1}{\alpha} (convergente)

Exercícios relacionados