Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O integrando é
com parâmetro . - O intervalo de integração é
, ou seja, é um caso de integral imprópria devido ao limite superior infinito. - A pergunta é: a integral existe como um número finito (converge) ou diverge (tende a infinito ou não tem limite)?
Passo 2
Lembrando a definição de integral imprópria em intervalo infinito: dizer que
converge significa que o limite
existe e é finito. Ou seja, para resolver a questão basta calcular a integral definida
e então tomar o limite quando
.
Passo 3
Calcular a antiderivada de
. Para isso use a regra básica: se
, então
e
Portanto uma primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral definida de
até
usando a primitiva encontrada:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Como
, o número
tende a
quando
, e portanto
Assim
Passo 6
Conclusão didática e dica rápida para a prova: a integral converge porque a exponencial negativa decai muito rápido (quando
), e dá exatamente
. Em provas, calcular a primitiva e tomar o limite é a maneira direta. Observação adicional útil: como a função é não negativa, a convergência implica também convergência absoluta.