Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
definida em . - O intervalo de integração é
, e há potencial problema em porque tende a zero quando . Ou seja, a integral é imprópria devido a uma singularidade no extremo direito . - No extremo esquerdo
não há singularidade: é finito.
O que está sendo pedido, portanto, é estudar o comportamento de
perto de
e decidir se a integral, entendida como limite quando se aproxima de
pela esquerda, converge.
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar (passo didático): quando a função tem singularidade em
consideramos
ou seja, tiramos um ponto
, calculamos a integral própria
e depois fazemos
. Se esse limite existir finito, dizemos que a integral imprópria converge; se o limite for infinito ou não existir, dizemos que diverge.
Passo 3
Estratégia de resolução (explicando opções): podemos (A) comparar a função com uma função simples do tipo potência próxima de
(teste de comparação/p-integral), ou (B) calcular explicitamente a primitiva e tomar o limite. Aqui faremos as duas coisas: primeiro a primitiva (porque dá o valor exato) e depois comentamos o teste de comparação para entender o porquê da convergência de forma mais intuitiva.
Passo 4
Cálculo da primitiva (passo a passo, com substituição):
Faço a mudança de variável que elimina o . Defina
Faço a mudança de variável que elimina o
Então
e
. Quando
varia de
a
(com
),
varia de
a
. A integral
fica
Reorganizando os sinais e termos,
Agora escrevo
. Portanto
Integro termo a termo (mostrando a primitiva de cada potência):
- Para
a primitiva é , porque . - Para
a primitiva é , porque .
Assim uma primitiva da integranda é
Voltando a
(lembrando
), uma primitiva da função original é
Passo 5
Avaliação do integral como limite usando a primitiva (mostrando o limite):
A integral própria de até
é
A integral própria de
Calculo
e
:
Logo
Agora fazemos o limite
. Como
e
quando
, a parte entre parênteses tende a
. Portanto o limite existe finito. Conclui-se que a integral imprópria converge.
(Aqui termino a demonstração via primitiva; o valor numérico do limite é
, que será apresentado apenas na seção de resposta final.)
Passo 6
Interpretação via teste de comparação / p-integral (aula curta e intuitiva):
Perto de temos
, então
comporta-se como
. Faça a mudança
(como antes): a integral próxima de
tem o mesmo comportamento de
Perto de
Relembrando o critério das p-integrals: a integral
converge se, e só se,
. Aqui
, logo
converge. Pelo teste de comparação (a função original é comparable a uma constante vezes
quando
pequeno), isso dá uma justificativa rápida de por que a integral converge — mesma conclusão obtida pela primitiva, só que mais conceitual.
Resposta
Convergente,