Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}} definida em [0,1).
  • O intervalo de integração é [0,1], e há potencial problema em x=1 porque \sqrt{1-x} tende a zero quando x\to1^-. Ou seja, a integral é imprópria devido a uma singularidade no extremo direito x=1.
  • No extremo esquerdo x=0 não há singularidade: f(0)=0 é finito.
O que está sendo pedido, portanto, é estudar o comportamento de f(x) perto de x=1 e decidir se a integral, entendida como limite quando se aproxima de 1 pela esquerda, converge.

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar (passo didático): quando a função tem singularidade em x=1 consideramos
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx :=\lim_{b\to1^-}\int_{0}^{b}\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx,
ou seja, tiramos um ponto b<1, calculamos a integral própria \int_0^b e depois fazemos b\to1^-. Se esse limite existir finito, dizemos que a integral imprópria converge; se o limite for infinito ou não existir, dizemos que diverge.

Passo 3

Estratégia de resolução (explicando opções): podemos (A) comparar a função com uma função simples do tipo potência próxima de x=1 (teste de comparação/p-integral), ou (B) calcular explicitamente a primitiva e tomar o limite. Aqui faremos as duas coisas: primeiro a primitiva (porque dá o valor exato) e depois comentamos o teste de comparação para entender o porquê da convergência de forma mais intuitiva.

Passo 4

Cálculo da primitiva (passo a passo, com substituição):
Faço a mudança de variável que elimina o \sqrt{1-x}. Defina
u=1-x.
Então du=-dx e x=1-u. Quando x varia de 0 a b (com 0\le b<1), u varia de 1 a 1-b. A integral \int_{0}^{b}\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx fica
\int_{0}^{b}\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx = \int_{u=1}^{u=1-b}\frac{1-u}{\sqrt{u}}\cdot(-du).
Reorganizando os sinais e termos,
\int_{1}^{1-b}\frac{1-u}{\sqrt{u}}\cdot(-du) = \int_{1-b}^{1}\frac{1-u}{\sqrt{u}}\,du.
Agora escrevo \dfrac{1-u}{\sqrt{u}} = u^{-1/2} - u^{1/2}. Portanto
\int_{1-b}^{1}\bigl(u^{-1/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Integro termo a termo (mostrando a primitiva de cada potência):
  • Para u^{-1/2} a primitiva é 2u^{1/2}, porque \dfrac{d}{du}(2u^{1/2}) = 2\cdot\tfrac{1}{2}u^{-1/2}=u^{-1/2}.
  • Para u^{1/2} a primitiva é \dfrac{2}{3}u^{3/2}, porque \dfrac{d}{du}\bigl(\tfrac{2}{3}u^{3/2}\bigr)=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}u^{1/2}=u^{1/2}.
Assim uma primitiva da integranda é
G(u)=2u^{1/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}.
Voltando a x (lembrando u=1-x), uma primitiva da função original é
F(x)=2(1-x)^{1/2}-\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}.

Passo 5

Avaliação do integral como limite usando a primitiva (mostrando o limite):
A integral própria de 0 até b é
\int_{0}^{b}\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx = F(b)-F(0).
Calculo F(0) e F(b):
F(0)=2(1)^{1/2}-\frac{2}{3}(1)^{3/2}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
F(b)=2(1-b)^{1/2}-\frac{2}{3}(1-b)^{3/2}.
Logo
\int_{0}^{b}\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx = \biggl(2(1-b)^{1/2}-\frac{2}{3}(1-b)^{3/2}\biggr)-\frac{4}{3}.
Agora fazemos o limite b\to1^-. Como (1-b)^{1/2}\to0 e (1-b)^{3/2}\to0 quando b\to1^-, a parte entre parênteses tende a 0. Portanto o limite existe finito. Conclui-se que a integral imprópria converge.
(Aqui termino a demonstração via primitiva; o valor numérico do limite é \dfrac{4}{3}, que será apresentado apenas na seção de resposta final.)

Passo 6

Interpretação via teste de comparação / p-integral (aula curta e intuitiva):
Perto de x=1 temos x\approx1, então \dfrac{x}{\sqrt{1-x}} comporta-se como \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}. Faça a mudança u=1-x (como antes): a integral próxima de 1 tem o mesmo comportamento de
\int_{0}^{\varepsilon} u^{-1/2}\,du.
Relembrando o critério das p-integrals: a integral \int_{0}^{\varepsilon} u^{-p}\,du converge se, e só se, p<1. Aqui p=\tfrac{1}{2}<1, logo \int_{0}^{\varepsilon} u^{-1/2}\,du converge. Pelo teste de comparação (a função original é comparable a uma constante vezes u^{-1/2} quando u pequeno), isso dá uma justificativa rápida de por que a integral converge — mesma conclusão obtida pela primitiva, só que mais conceitual.

Resposta

Convergente, \dfrac{4}{3}

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