Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} \frac{x \operatorname{sen} x}{1+x^{3}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\,dx
é convergente ou divergente.
  • Informações extras úteis que já estão no próprio enunciado:
    • O intervalo de integração é [0,\infty), logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
    • A função integranda é f(x)=\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}, definida para todo x\ge0. Não há singularidade real em x=0 (o numerador e denominador são finitos) mas precisamos checar integrabilidade no trecho perto de 0 e também o comportamento quando x\to\infty.
    • Para argumentos de comparação usarei desigualdades clássicas: |\sin x|\le1 para todo x e, para x pequeno, |\sin x|\le|x|.

Passo 2

A ideia de método (explicação didática): vou testar convergência absoluta usando o teste de comparação. Lembrete rápido do que é isso:
  • Uma integral imprópria \int_{0}^{\infty}f(x)\,dx converge absolutamente se \int_{0}^{\infty}|f(x)|\,dx<\infty.
  • Se conseguir mostrar |f(x)|\le g(x) para x em algum intervalo e \int g<\infty, então \int|f|<\infty por comparação, logo há convergência absoluta (e portanto convergência).
    Vou aplicar isso separando a integral em dois trechos: [0,1] e [1,\infty).

Passo 3

Verificação da integrabilidade no trecho perto de zero, [0,1].
  • Para 0\le x\le1 vale |\sin x|\le|x|. Portanto
\left|\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|\le\frac{x\cdot|x|}{1+x^{3}}=\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\le x^{2},
pois 1+x^{3}\ge1.
  • A integral de referência \int_{0}^{1}x^{2}\,dx converge:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
  • Pelo teste da comparação, segue que \int_{0}^{1}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty. Logo a parte próxima a 0 não causa problema: é absolutamente integrável em [0,1].

Passo 4

Verificação da integrabilidade no trecho infinito, [1,\infty).
  • Para x\ge1 tem-se 1+x^{3}\ge x^{3}, então
\frac{x}{1+x^{3}}\le\frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}.
Usando também |\sin x|\le1, obtemos para x\ge1
\left|\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|\le\frac{x}{1+x^{3}}\le\frac{1}{x^{2}}.
  • A integral de comparação \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx converge (é uma p‑integral com p=2>1):
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1.
  • Pelo teste da comparação, segue que \int_{1}^{\infty}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty. Portanto a parte do infinito também é absolutamente integrável.

Passo 5

Conclusão combinada e observações finais (explicação curta do porquê isso resolve o problema):
  • Mostrei que \int_{0}^{1}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty e \int_{1}^{\infty}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty. Portanto
\int_{0}^{\infty}\left|\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty,
ou seja, a integral converge absolutamente.
  • Consequência: se uma integral converge absolutamente, ela converge (convergência absoluta implica convergência). Assim \int_{0}^{\infty}\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\,dx é convergente, e com convergência absoluta.
  • Comentário motivador: foi mais simples do que o medo inicial — como o denominador cresce como x^{3}, a amplitude efetiva do integrando decai como \sim 1/x^{2}, o que é suficiente para garantir integrabilidade mesmo multiplicando por |\sin x| (que só oscila entre -1 e 1).

Resposta

A integral converge absolutamente; portanto a integral \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\,dx é convergente (convergência absoluta).

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