Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes. \int_{0}^{\infty} \frac{x \operatorname{sen} x}{1+x^{3}} d x
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
Pede verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\,dx
é convergente ou divergente.
Informações extras úteis que já estão no próprio enunciado:
O intervalo de integração é [0,\infty), logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
A função integranda é f(x)=\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}, definida para todo x\ge0. Não há singularidade real em x=0 (o numerador e denominador são finitos) mas precisamos checar integrabilidade no trecho perto de 0 e também o comportamento quando x\to\infty.
Para argumentos de comparação usarei desigualdades clássicas: |\sin x|\le1 para todo x e, para x pequeno, |\sin x|\le|x|.
Passo 2
A ideia de método (explicação didática): vou testar convergência absoluta usando o teste de comparação. Lembrete rápido do que é isso:
Uma integral imprópria \int_{0}^{\infty}f(x)\,dx converge absolutamente se \int_{0}^{\infty}|f(x)|\,dx<\infty.
Se conseguir mostrar |f(x)|\le g(x) para x em algum intervalo e \int g<\infty, então \int|f|<\infty por comparação, logo há convergência absoluta (e portanto convergência).
Vou aplicar isso separando a integral em dois trechos: [0,1] e [1,\infty).
Passo 3
Verificação da integrabilidade no trecho perto de zero, [0,1].
Pelo teste da comparação, segue que \int_{0}^{1}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty. Logo a parte próxima a 0 não causa problema: é absolutamente integrável em [0,1].
Passo 4
Verificação da integrabilidade no trecho infinito, [1,\infty).
Pelo teste da comparação, segue que \int_{1}^{\infty}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty. Portanto a parte do infinito também é absolutamente integrável.
Passo 5
Conclusão combinada e observações finais (explicação curta do porquê isso resolve o problema):
Mostrei que \int_{0}^{1}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty e \int_{1}^{\infty}\left|\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\right|dx<\infty. Portanto
Consequência: se uma integral converge absolutamente, ela converge (convergência absoluta implica convergência). Assim \int_{0}^{\infty}\dfrac{x\sin x}{1+x^{3}}\,dx é convergente, e com convergência absoluta.
Comentário motivador: foi mais simples do que o medo inicial — como o denominador cresce como x^{3}, a amplitude efetiva do integrando decai como \sim 1/x^{2}, o que é suficiente para garantir integrabilidade mesmo multiplicando por |\sin x| (que só oscila entre -1 e 1).
Resposta
A integral converge absolutamente; portanto a integral \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin x}{1+x^{3}}\,dx é convergente (convergência absoluta).