Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações e observações importantes que já estão no enunciado:
- O integrando tem pontos problemáticos em
porque aí (singularidade do tipo ). - É uma integral no intervalo inteiro
, então há duas questões de impropriedade: comportamento em torno de e comportamento quando e . - Nota técnica sobre definição: para
real, está naturalmente definido como número real para . Para a expressão só é real para certos (por exemplo inteiros). Vou comentar esse ponto quando necessário, mas a conclusão sobre divergência não depende de casos exóticos de continuação complexa — mesmo no ramo real e nos casos em que seja real para , a integral diverge.
Passo 2
Relembrando ideias úteis (teste e estratégias que usarei):
- Para uma integral imprópria em
é natural dividir em integrais em subintervalos que contêm as singularidades e os infinitos e estudar cada uma: por exemplo , , , . - Se qualquer uma dessas integrais improprias diverge, a integral sobre todo o real diverge.
- Teste comparativo local: se
com , então e têm o mesmo comportamento de convergência próximo de : ou ambas as integrais locais convergem ou ambas divergem. - Expansão assintótica usada aqui:
quando . Assim para pequeno, se comporta como .
Passo 3
Análise do comportamento perto de
(lado direito
; isso já basta para concluir divergência, mas faço o raciocínio completo e rigoroso).
- Para
pequeno temos (porque ), então . - Além disso
, portanto e . - Calcule o limite comparativo:
- Assim
, um número real não nulo. Pelo teste comparativo, a integral tem o mesmo comportamento de . - E
(diverge logaritmicamente). Portanto
é divergente (não existe limite finito quando o ponto
é abordado pela direita).
Passo 4
Comentário sobre os outros ramos (para completar o entendimento):
- Para
, tem-se , logo
e
converge (decai exponencialmente). Portanto a parte de
não causa problemas.
- Para
, , então para aqueles em que seja real para negativo (por exemplo inteiro) o integrando se comporta como quando . Nesse caso o módulo cresce como e diverge porque . Ou seja, a cauda para também diverge (quando a expressão for real ali). Se não tornar real em , então já não se tem uma integral real bem definida no lado negativo. - Conclusão: independentemente do problema na vizinhança de
(que já garante divergência), a parte também não ajuda — ela também impede a convergência no caso real.
Passo 5
Conclusão final e interpretação amigável: a integral não converge. A razão mais simples e direta é que a integral na vizinhança de
diverge porque o integrando tem comportamento assintótico
quando
, e
diverge. Além disso, olhando para
também se encontra divergência polinomial para
(quando a expressão for real), então não há compensação que salve a integral.
Resposta
A integral diverge para todo
.