Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^{\alpha}-1}{e^{x}-1} d x, \alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^{\alpha}-1}{e^{x}-1}\,dx,\qquad \alpha>0,
é convergente ou divergente. Informações e observações importantes que já estão no enunciado:
  • O integrando tem pontos problemáticos em x=0 porque e^{x}-1=0 aí (singularidade do tipo 0/0).
  • É uma integral no intervalo inteiro (-\infty,\infty), então há duas questões de impropriedade: comportamento em torno de x=0 e comportamento quando x\to+\infty e x\to-\infty.
  • Nota técnica sobre definição: para \alpha>0 real, x^{\alpha} está naturalmente definido como número real para x>0. Para x<0 a expressão x^{\alpha} só é real para certos \alpha (por exemplo inteiros). Vou comentar esse ponto quando necessário, mas a conclusão sobre divergência não depende de casos exóticos de continuação complexa — mesmo no ramo real e nos casos em que x^{\alpha} seja real para x<0, a integral diverge.

Passo 2

Relembrando ideias úteis (teste e estratégias que usarei):
  • Para uma integral imprópria em (-\infty,\infty) é natural dividir em integrais em subintervalos que contêm as singularidades e os infinitos e estudar cada uma: por exemplo (-\infty,-1), (-1,0), (0,1), (1,\infty).
  • Se qualquer uma dessas integrais improprias diverge, a integral sobre todo o real diverge.
  • Teste comparativo local: se \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L com 0<|L|<\infty, então f e g têm o mesmo comportamento de convergência próximo de a: ou ambas as integrais locais convergem ou ambas divergem.
  • Expansão assintótica usada aqui: \displaystyle e^{x}-1 = x + O(x^{2}) quando x\to 0. Assim para x pequeno, e^{x}-1 se comporta como x.

Passo 3

Análise do comportamento perto de x=0 (lado direito (0,1); isso já basta para concluir divergência, mas faço o raciocínio completo e rigoroso).
  • Para x>0 pequeno temos \lim_{x\to 0^+} x^{\alpha}=0 (porque \alpha>0), então \lim_{x\to 0^+}(x^{\alpha}-1)=-1.
  • Além disso \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1, portanto \dfrac{e^{x}-1}{x}\to 1 e \dfrac{x}{e^{x}-1}\to 1.
  • Calcule o limite comparativo:
\lim_{x\to 0^+} x\cdot\frac{x^{\alpha}-1}{e^{x}-1} = \left(\lim_{x\to0^+}(x^{\alpha}-1)\right)\cdot\left(\lim_{x\to0^+}\frac{x}{e^{x}-1}\right) = (-1)\cdot 1 = -1.
  • Assim \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{(x^{\alpha}-1)/(e^{x}-1)}{1/x}=-1, um número real não nulo. Pelo teste comparativo, a integral \displaystyle\int_{0}^{\delta}\frac{x^{\alpha}-1}{e^{x}-1}\,dx tem o mesmo comportamento de \displaystyle\int_{0}^{\delta}\frac{1}{x}\,dx.
  • E \displaystyle\int_{0}^{\delta}\frac{1}{x}\,dx=+\infty (diverge logaritmicamente). Portanto
\int_{0}^{1}\frac{x^{\alpha}-1}{e^{x}-1}\,dx
é divergente (não existe limite finito quando o ponto 0 é abordado pela direita).

Passo 4

Comentário sobre os outros ramos (para completar o entendimento):
  • Para x\to+\infty, tem-se e^{x}-1\sim e^{x}, logo
\frac{x^{\alpha}-1}{e^{x}-1}\sim x^{\alpha}e^{-x},
e \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{\alpha}e^{-x}\,dx converge (decai exponencialmente). Portanto a parte de +\infty não causa problemas.
  • Para x\to -\infty, e^{x}-1\to -1, então para aqueles \alpha em que x^{\alpha} seja real para x negativo (por exemplo \alpha inteiro) o integrando se comporta como -(x^{\alpha}-1)\sim -x^{\alpha} quando x\to -\infty. Nesse caso o módulo cresce como |x|^{\alpha} e \displaystyle\int_{-\infty}^{-1}|x|^{\alpha}\,dx=\int_{1}^{\infty}t^{\alpha}\,dt diverge porque \alpha>0. Ou seja, a cauda para x\to -\infty também diverge (quando a expressão for real ali). Se \alpha não tornar x^{\alpha} real em x<0, então já não se tem uma integral real bem definida no lado negativo.
  • Conclusão: independentemente do problema na vizinhança de 0 (que já garante divergência), a parte x\to -\infty também não ajuda — ela também impede a convergência no caso real.

Passo 5

Conclusão final e interpretação amigável: a integral não converge. A razão mais simples e direta é que a integral na vizinhança de x=0 diverge porque o integrando tem comportamento assintótico \sim -1/x quando x\to 0^+, e \int_{0}^{\delta}1/x\,dx diverge. Além disso, olhando para x\to -\infty também se encontra divergência polinomial para \alpha>0 (quando a expressão for real), então não há compensação que salve a integral.

Resposta

A integral diverge para todo \alpha>0.

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