Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x} d x, \alpha, \beta>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar convergência ou divergência da integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x}\,dx,\qquad \alpha,\beta>0.
Informações dadas:
  • A integranda é x^{\alpha} e^{-\beta x}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, há duas possíveis fontes de impropriedade: o ponto x=0 (singular se a função explodir) e o infinito x\to\infty.
  • Os parâmetros satisfazem \alpha>0 e \beta>0.
O que é pedido: determinar se a integral converge ou diverge (e, se convergir, é bom saber se é absolutamente convergente e, se possível, obter o valor).

Passo 2

Análise da vizinhança de x=0.
Quando x está próximo de 0, a exponencial tende a 1 pois e^{-\beta x}\to 1 quando x\to0. Assim, o comportamento principal da integrando perto de zero é semelhante ao de x^{\alpha}.
Comparação padrão perto de 0: se quisermos testar a integrabilidade em [0,1], comparamos com \int_{0}^{1} x^{\alpha}\,dx. Calculamos essa integral elementar:
\int_{0}^{1} x^{\alpha}\,dx=\left[\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{\alpha+1},
que é finita sempre que \alpha>-1. Como no enunciado \alpha>0, temos \alpha>-1 e portanto a integral é própria (finita) na porção [0,1]. Conclusão: não há divergência em x=0.

Passo 3

Análise do comportamento quando x\to\infty.
Para testar a convergência em [1,\infty) precisamos ver se a cauda
\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x}\,dx
é finita. A ideia é usar um teste de comparação com uma função exponencial que tenha integral finita. É uma ideia padrão: exponenciais decrescentes vencem potências polinomiais para x grande.
Mostraremos que existe M>0 tal que, para todo x\ge M,
x^{\alpha} e^{-\beta x}\le e^{-\frac{\beta}{2}x}.
Se isso ocorrer, como \int_{M}^{\infty} e^{-\frac{\beta}{2}x}\,dx converge, então a integral original converge por comparação.

Passo 4

Justificando a desigualdade x^{\alpha}\le e^{\frac{\beta}{2}x} para x grande.
Tomemos logs: queremos garantir para x grande que
\alpha\ln x \le \frac{\beta}{2}x.
Considere a função \dfrac{\ln x}{x}. Pelo Lema clássico,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.
Uma maneira rápida de ver isso é aplicar a Regra de L’Hospital: \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{1}=0. Como o limite é 0, existe M>1 tal que, para todo x\ge M,
\frac{\ln x}{x}\le \frac{\beta}{2\alpha}.
Multiplicando ambos os lados por \alpha x obtemos \alpha\ln x \le \frac{\beta}{2}x para x\ge M. Exponenciando, dá
x^{\alpha}\le e^{\frac{\beta}{2}x}\quad\text{para }x\ge M,
e, multiplicando por e^{-\beta x},
x^{\alpha}e^{-\beta x}\le e^{-\frac{\beta}{2}x}\quad\text{para }x\ge M.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação na cauda e conclui-se convergência.
Como \int_{M}^{\infty} e^{-\frac{\beta}{2}x}\,dx converge (é uma integral exponencial geométrica cujo valor é \dfrac{2}{\beta}e^{-\frac{\beta}{2}M}), a desigualdade do passo anterior implica por comparação que
\int_{M}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x}\,dx
converge. Juntando com o fato de que a integral em [0,1] é finita (Passo 2), concluímos que
\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x}\,dx
converge. Como a integranda é positiva, a convergência é absoluta.

Passo 6

Método alternativo (e cálculo explícito do valor) via mudança de variável e função Gama.
Fazendo a substituição \,u=\beta x, então du=\beta\,dx e dx=\dfrac{du}{\beta}. Além disso, quando x vai de 0 a \infty, u vai de 0 a \infty. Assim
\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x}\,dx =\int_{0}^{\infty}\left(\frac{u}{\beta}\right)^{\alpha} e^{-u}\frac{du}{\beta} =\beta^{-\alpha-1}\int_{0}^{\infty} u^{\alpha} e^{-u}\,du.
A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} u^{\alpha} e^{-u}\,du é a definição da função Gama para argumento \alpha+1:
\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{\infty} u^{\alpha} e^{-u}\,du,
avaliada para \alpha+1>0, condição satisfeita já que \alpha>0. Portanto a integral original não só converge, como tem o valor fechado
\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\beta x}\,dx=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha+1}}.

Resposta

A integral converge (absolutamente) para todos \alpha,\beta>0 e seu valor é
\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha+1}}.

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