Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar convergência ou divergência da integral imprópria
Informações dadas:
- A integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, há duas possíveis fontes de impropriedade: o ponto (singular se a função explodir) e o infinito . - Os parâmetros satisfazem
e .
O que é pedido: determinar se a integral converge ou diverge (e, se convergir, é bom saber se é absolutamente convergente e, se possível, obter o valor).
Passo 2
Análise da vizinhança de
.
Quando
está próximo de
, a exponencial tende a
pois
quando
. Assim, o comportamento principal da integrando perto de zero é semelhante ao de
.
Comparação padrão perto de
: se quisermos testar a integrabilidade em
, comparamos com
. Calculamos essa integral elementar:
que é finita sempre que
. Como no enunciado
, temos
e portanto a integral é própria (finita) na porção
. Conclusão: não há divergência em
.
Passo 3
Análise do comportamento quando
.
Para testar a convergência em
precisamos ver se a cauda
é finita. A ideia é usar um teste de comparação com uma função exponencial que tenha integral finita. É uma ideia padrão: exponenciais decrescentes vencem potências polinomiais para
grande.
Mostraremos que existe
tal que, para todo
,
Se isso ocorrer, como
converge, então a integral original converge por comparação.
Passo 4
Justificando a desigualdade
para
grande.
Tomemos logs: queremos garantir para
grande que
Considere a função
. Pelo Lema clássico,
Uma maneira rápida de ver isso é aplicar a Regra de L’Hospital:
. Como o limite é
, existe
tal que, para todo
,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
para
. Exponenciando, dá
e, multiplicando por
,
Passo 5
Aplicando o teste de comparação na cauda e conclui-se convergência.
Como
converge (é uma integral exponencial geométrica cujo valor é
), a desigualdade do passo anterior implica por comparação que
converge. Juntando com o fato de que a integral em
é finita (Passo 2), concluímos que
converge. Como a integranda é positiva, a convergência é absoluta.
Passo 6
Método alternativo (e cálculo explícito do valor) via mudança de variável e função Gama.
Fazendo a substituição
, então
e
. Além disso, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
A integral
é a definição da função Gama para argumento
:
avaliada para
, condição satisfeita já que
. Portanto a integral original não só converge, como tem o valor fechado
Resposta
A integral converge (absolutamente) para todos
e seu valor é