Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes. \int_{0}^{\infty} e^{-x} \operatorname{sen} x d x
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx
é convergente ou divergente. O que nos é dado: a função integranda é e^{-x}\sin x definida para x\ge0. A pergunta é se a integral imprópria (com limite superior infinito) converge, e, se convergir, podemos também calcular o seu valor.
Passo 2
Definição e estratégia. Uma integral imprópria do tipo
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
é definida como o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx,
quando esse limite existir finito. Para decidir convergência há duas abordagens úteis aqui:
testar convergência absoluta: verificar se \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx é finita; se for, a integral converge absolutamente e, portanto, converge;
calcular explicitamente \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx (por exemplo por partes) e ver se o limite existe.
Vou primeiro testar convergência absoluta (método simples) e depois calcular o valor exato da integral usando integração por partes.
Passo 3
Teste de convergência absoluta. Tomamos a integral do valor absoluto:
pela comparação temos que \int_{0}^{\infty} e^{-x}|\sin x|\,dx é finita (menor ou igual a 1). Portanto a integral original converge absolutamente. Conclusão intermediária: a integral converge.
Passo 4
Agora vamos calcular o valor exato
I=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx.
Defina a integral truncada
I(R)=\int_{0}^{R} e^{-x}\sin x\,dx
e depois faremos I=\lim_{R\to\infty} I(R). Aplicamos integração por partes uma primeira vez. Escolha
I(R) = \frac{1}{2} - \frac{e^{-R}}{2}\big(\sin R + \cos R\big).
Passo 7
Finalmente tomamos o limite R\to\infty. Como e^{-R}\to 0 quando R\to\infty, o termo com e^{-R} tende a zero (mesmo multiplicado por \sin R ou \cos R, que são limitados). Logo
I=\lim_{R\to\infty} I(R) = \frac{1}{2}.
Combinando com o passo sobre convergência absoluta, concluímos que a integral converge absolutamente e seu valor é \tfrac{1}{2}.