Verifique se as integrais impróprias a seguir são convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{\infty} e^{-x} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx
é convergente ou divergente. O que nos é dado: a função integranda é e^{-x}\sin x definida para x\ge0. A pergunta é se a integral imprópria (com limite superior infinito) converge, e, se convergir, podemos também calcular o seu valor.

Passo 2

Definição e estratégia. Uma integral imprópria do tipo
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
é definida como o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx,
quando esse limite existir finito. Para decidir convergência há duas abordagens úteis aqui:
  • testar convergência absoluta: verificar se \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx é finita; se for, a integral converge absolutamente e, portanto, converge;
  • calcular explicitamente \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx (por exemplo por partes) e ver se o limite existe.
Vou primeiro testar convergência absoluta (método simples) e depois calcular o valor exato da integral usando integração por partes.

Passo 3

Teste de convergência absoluta. Tomamos a integral do valor absoluto:
\int_{0}^{\infty} \big|e^{-x}\sin x\big|\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,|\sin x|\,dx.
Usamos a desigualdade básica |\sin x|\le 1 para todo x. Assim
0\le e^{-x}|\sin x|\le e^{-x}.
Como a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx
é uma integral geométrica conhecida e vale
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty} = 1,
pela comparação temos que \int_{0}^{\infty} e^{-x}|\sin x|\,dx é finita (menor ou igual a 1). Portanto a integral original converge absolutamente. Conclusão intermediária: a integral converge.

Passo 4

Agora vamos calcular o valor exato
I=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx.
Defina a integral truncada
I(R)=\int_{0}^{R} e^{-x}\sin x\,dx
e depois faremos I=\lim_{R\to\infty} I(R). Aplicamos integração por partes uma primeira vez. Escolha
u=\sin x,\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Então
du=\cos x\,dx,\qquad v=-e^{-x}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
I(R) = \big[-e^{-x}\sin x\big]_{0}^{R} + \int_{0}^{R} e^{-x}\cos x\,dx.
Avalie o termo de borda em x=0: -e^{0}\sin 0=0. Assim
I(R) = -e^{-R}\sin R + \int_{0}^{R} e^{-x}\cos x\,dx.

Passo 5

Agora compute a integral restante
J(R)=\int_{0}^{R} e^{-x}\cos x\,dx
usando integração por partes novamente. Tome
u=\cos x,\qquad dv=e^{-x}\,dx,
logo
du=-\sin x\,dx,\qquad v=-e^{-x}.
Aplicando a fórmula,
J(R)=\big[-e^{-x}\cos x\big]_{0}^{R} - \int_{0}^{R} e^{-x}\sin x\,dx.
O termo de borda em x=0 é -e^{0}\cos 0 = -1, então
J(R) = -e^{-R}\cos R + 1 - I(R).

Passo 6

Volte para a expressão de I(R). Substituindo J(R) em I(R) = -e^{-R}\sin R + J(R) obtemos
I(R) = -e^{-R}\sin R + \big(-e^{-R}\cos R + 1 - I(R)\big).
Agrupando termos,
I(R) = 1 - e^{-R}\big(\sin R + \cos R\big) - I(R).
Passando I(R) para o lado esquerdo,
2I(R) = 1 - e^{-R}\big(\sin R + \cos R\big).
Portanto
I(R) = \frac{1}{2} - \frac{e^{-R}}{2}\big(\sin R + \cos R\big).

Passo 7

Finalmente tomamos o limite R\to\infty. Como e^{-R}\to 0 quando R\to\infty, o termo com e^{-R} tende a zero (mesmo multiplicado por \sin R ou \cos R, que são limitados). Logo
I=\lim_{R\to\infty} I(R) = \frac{1}{2}.
Combinando com o passo sobre convergência absoluta, concluímos que a integral converge absolutamente e seu valor é \tfrac{1}{2}.

Resposta

A integral converge absolutamente e
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx = \frac{1}{2}.

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