Verifique se a integral imprópria converge ou diverge, em caso de convergência indique o valor da integral:
integral-infty^0 x(1+x^2)^2 d x
Escolha uma opção:
a. integral-infty^0 x(1+x^2)^2 d x=110
b. integral-infty^0 x(1+x^2)^2 d x=2 raiz2
c. integral-infty^0 x(1+x^2)^2 d x=-12
d. integral-infty^0 x(1+x^2)^2 d x=120
e. Integral diverge

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral-infty^0 xl(1+x^2r)^2,dx
e, se convergir, calcular o seu valor. Vamos usar o método de antiderivação por substituição para encontrar uma primitiva de tfracx(1+x^2)^2.

Passo 2

Para achar a primitiva de x(1+x^2)^2, faça a substituição
;u = 1 + x^2, logo du = 2x,dx e x,dx = tfrac12du. Assim,
integral x(1+x^2)^2,dx = 12 integral u^-2,du = -12u + C = -12l(1+x^2r) + C

Passo 3

Usando a primitiva F(x) = -tfrac12(1+x^2) e definindo
integral-infty^0 x(1+x^2)^2,dx = limtto -inftyl[F(0) - F(t)r],
temos
F(0) = -12(1+0^2) = -12, limtto -inftyF(t) = limtto -inftyl(-12(1+t^2)r) = 0
Portanto
integral-infty^0 x(1+x^2)^2,dx = -12 - 0 = -12,
ou seja, a integral converge.

Resposta

c. -tfrac12

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