Verifique se S é LI ou LD: S=\left\{\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)\right\} \subset M_{2}(\mathbb{R}) Passo 1O enunciado pede para verificar se o conjunto S = \Bigl\{A_{1} = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 2\end{pmatrix},\; A_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\; A_{3} = \begin{pmatrix}5 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix}\Bigr\} \subset M_{2}(\mathbb{R}) é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Conteúdo: Teste de independência linear em um espaço vetorial, aqui M_{2}(\mathbb{R}). Vamos montar a combinação linear geral igual a zero e ver se só há solução trivial. Passo 2Considere \alpha A_{1} + \beta A_{2} + \gamma A_{3} = \alpha\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 2 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\alpha + 5\gamma & \alpha + \gamma\\\ \beta + 2\gamma & 2\alpha + 4\gamma \end{pmatrix}. Impondo que isso seja a matriz zero, obtemos o sistema \begin{cases} 2\alpha + 5\gamma = 0,\\\ \alpha + \gamma = 0,\\\ \beta + 2\gamma = 0,\\\\ 2\alpha + 4\gamma = 0. \end{cases} Passo 3Da segunda equação vem \alpha + \gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -\gamma. Substituindo na primeira: 2(-\gamma) + 5\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 0. Da terceira equação: \beta + 2\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = 0. A quarta é então satisfeita automaticamente. Passo 4Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, não existe combinação linear não trivial que anule esses vetores. Logo, S é linearmente independente. RespostaO conjunto S é LI (linearmente independente). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEm cada caso, encontre um conjunto de geradores de W e decida se W é ou não finitamente gerado: W=\left\{f \in \mathcal{F}: f(x)=a e^{x}+b e^{2 x}+2 a \sin (x)\right., com \, b \in \mathbb{R}\right\}, subespaço de \mathcal{F}. Verifique se S é LI ou LD: S=\left\{\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)\right\} \subset M_{2}(\mathbb{R}) Verifique se S é LI ou LD: S=\{t(t-1), t^{2}(t-1), t\} \subset P_{4}(\mathbb{R}) Verifique se S é LI ou LD: S=\{t(t-1), t^{2}(t-1), t\} \subset P_{4}(\mathbb{R})