O que precisamos calcular explicitamente são os dois produtos:
(AB)C\quad\text{e}\quad A(BC),
e então comparar os resultados para verificar se são iguais.]
Passo 2
Primeiro, um lembrete didático sobre multiplicação de matrizes e compatibilidade de dimensões. Se A é uma matriz m\times n e B é n\times p, então o produto AB existe e é uma matriz m\times p. A fórmula geral para o elemento da linha i e coluna j do produto é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj},
onde A_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de A e B_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de B. Aqui n é o número de colunas de A (iguais ao número de linhas de B). Essa soma é simplesmente a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A com os da coluna j de B. Para verificar associatividade calculamos duas formas válidas de multiplicar (pois as dimensões permitem): primeiro (AB) e depois multiplicar por C; segundo calcular BC e depois multiplicar por A.
Passo 3
Calculemos AB. As dimensões: A é 2\times2 e B é 2\times3, então AB será 2\times3. Usamos a fórmula elemento a elemento.
Agora calculamos (AB)C. Aqui AB é 2\times3 e C é 3\times1, então (AB)C será 2\times1. Usamos a mesma regra de soma produto entre linha de AB e coluna de C.
Finalmente calculamos A(BC). Aqui A é 2\times2 e BC é 2\times1, então o produto existe e resulta em uma matriz 2\times1. Multiplicamos linha por coluna: