Verifique a lei associativa para o produto matricial \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 4 \\\\ 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos a lei associativa do produto matricial para as três matrizes dadas. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\[4pt]1 & 1 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O que precisamos calcular explicitamente são os dois produtos:
(AB)C\quad\text{e}\quad A(BC),
e então comparar os resultados para verificar se são iguais.]

Passo 2

Primeiro, um lembrete didático sobre multiplicação de matrizes e compatibilidade de dimensões. Se A é uma matriz m\times n e B é n\times p, então o produto AB existe e é uma matriz m\times p. A fórmula geral para o elemento da linha i e coluna j do produto é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj},
onde A_{ik} é o elemento da linha i, coluna k de A e B_{kj} é o elemento da linha k, coluna j de B. Aqui n é o número de colunas de A (iguais ao número de linhas de B). Essa soma é simplesmente a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A com os da coluna j de B. Para verificar associatividade calculamos duas formas válidas de multiplicar (pois as dimensões permitem): primeiro (AB) e depois multiplicar por C; segundo calcular BC e depois multiplicar por A.

Passo 3

Calculemos AB. As dimensões: A é 2\times2 e B é 2\times3, então AB será 2\times3. Usamos a fórmula elemento a elemento.
Cálculo da linha 1 de AB:
(AB)_{11}=1\cdot 0 + 2\cdot 1 = 0+2=2,
(AB)_{12}=1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 1+2=3,
(AB)_{13}=1\cdot 2 + 2\cdot 3 = 2+6=8.
Cálculo da linha 2 de AB:
(AB)_{21}=0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0+1=1,
(AB)_{22}=0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 0+1=1,
(AB)_{23}=0\cdot 2 + 1\cdot 3 = 0+3=3.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}2 & 3 & 8\\[4pt]1 & 1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos (AB)C. Aqui AB é 2\times3 e C é 3\times1, então (AB)C será 2\times1. Usamos a mesma regra de soma produto entre linha de AB e coluna de C.
Primeiro elemento (linha 1):
\big((AB)C\big)_{1}=2\cdot 1 + 3\cdot 4 + 8\cdot 3 = 2 + 12 + 24 = 38.
Segundo elemento (linha 2):
\big((AB)C\big)_{2}=1\cdot 1 + 1\cdot 4 + 3\cdot 3 = 1 + 4 + 9 = 14.
Assim
(AB)C=\begin{pmatrix}38\\[4pt]14\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos BC. As dimensões: B é 2\times3 e C é 3\times1, então BC será 2\times1. Calculamos os dois elementos:
Primeiro elemento:
(BC)_{1}=0\cdot 1 + 1\cdot 4 + 2\cdot 3 = 0 + 4 + 6 = 10.
Segundo elemento:
(BC)_{2}=1\cdot 1 + 1\cdot 4 + 3\cdot 3 = 1 + 4 + 9 = 14.
Logo
BC=\begin{pmatrix}10\\[4pt]14\end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente calculamos A(BC). Aqui A é 2\times2 e BC é 2\times1, então o produto existe e resulta em uma matriz 2\times1. Multiplicamos linha por coluna:
Primeiro elemento:
\big(A(BC)\big)_{1}=1\cdot 10 + 2\cdot 14 = 10 + 28 = 38.
Segundo elemento:
\big(A(BC)\big)_{2}=0\cdot 10 + 1\cdot 14 = 0 + 14 = 14.
Logo
A(BC)=\begin{pmatrix}38\\[4pt]14\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparando os resultados obtidos em \

Passo 8

(AB)C=\begin{pmatrix}38\\[4pt]14\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad A(BC)=\begin{pmatrix}38\\[4pt]14\end{pmatrix},
portanto (AB)C = A(BC) para estas matrizes. Isso verifica a lei associativa no caso dado. Parabéns — fizemos todas as contas passo a passo!]

Resposta

(AB)C = A(BC) = \begin{pmatrix}38\\[4pt]14\end{pmatrix}]

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