Informações dadas que vamos usar: os dois são matrizes triangulares superiores com 1 na diagonal e n é um inteiro positivo. Nada mais é pedido além das potências para todo n.]
Passo 2
Idéia geral (sem resolver ainda): uma boa maneira de lidar com matrizes como essas é escrever cada uma na forma I+N, onde I é a matriz identidade e N é a matriz com zeros na diagonal e as entradas acima da diagonal correspondentes. A vantagem é que muitas dessas N são nilpotentes (alguma potência positiva de N é a matriz zero), então na expansão binomial de (I+N)^{n} só aparecem poucos termos não nulos. Vou explicar o que significa cada passo enquanto aplico.
Vamos calcular N^{2} e N^{3} explicitamente para ver a nilpotência.]
Passo 6
Calcule N^{2}. Multiplicando componente a componente:
N^{2}=N\cdot N.
Para achar a entrada (1,3) de N^{2} usamos a soma dos produtos da linha 1 de N pela coluna 3 de N:
a entrada (1,3) é N_{1,2}N_{2,3}+N_{1,3}N_{3,3}=1\cdot1 + 1\cdot0 = 1.
Todas as outras entradas acima da diagonal ficam zero porque não há caminhos de comprimento 2 que produzam outros elementos. Fazendo a multiplicação completa:
Somando I + nN + \binom{n}{2}N^{2}, obtemos:
a entrada (1,1) é 1;
a entrada (1,2) é n (vem só de nN);
a entrada (2,2) é 1;
a entrada (2,3) é n;
a entrada (1,3) é n + \dfrac{n(n-1)}{2}.]
Passo 9
Simplifique a entrada (1,3):
n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n + n(n-1)}{2} = \frac{n(2 + n - 1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.