Calcule \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]^{n} para qualquer n inteiro positivo. Calcule \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{n} para qualquer n.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • Calcular \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}^{n}
para qualquer n inteiro positivo.
  • Calcular \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{n}
para qualquer n inteiro positivo.
Informações dadas que vamos usar: os dois são matrizes triangulares superiores com 1 na diagonal e n é um inteiro positivo. Nada mais é pedido além das potências para todo n.]

Passo 2

Idéia geral (sem resolver ainda): uma boa maneira de lidar com matrizes como essas é escrever cada uma na forma I+N, onde I é a matriz identidade e N é a matriz com zeros na diagonal e as entradas acima da diagonal correspondentes. A vantagem é que muitas dessas N são nilpotentes (alguma potência positiva de N é a matriz zero), então na expansão binomial de (I+N)^{n} só aparecem poucos termos não nulos. Vou explicar o que significa cada passo enquanto aplico.

Passo 3

Trabalhando com a primeira matriz. Defina
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Escrevemos A=I+N com
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule N^{2}. Multiplicando:
N^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0\\[4pt] 0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Logo, N^{2}=0 (a matriz zero). Isso significa que N é nilpotente de ordem 2.]

Passo 4

Usando a expansão binomial para matrizes que comutam (aqui I e N comutam sempre), temos
A^{n}=(I+N)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}I^{\,n-k}N^{k}.
Mas como N^{2}=0, todos os termos com k\ge 2 são zero. Portanto sobra
A^{n}=I + nN.
Agora escrevemos isso em forma de matriz:
A^{n}=I + n\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & n\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Como verificação rápida: para n=1 e n=2 bate com multiplicação direta.]

Passo 5

Agora a segunda matriz. Defina
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Escrevemos B=I+N com
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Vamos calcular N^{2} e N^{3} explicitamente para ver a nilpotência.]

Passo 6

Calcule N^{2}. Multiplicando componente a componente:
N^{2}=N\cdot N.
Para achar a entrada (1,3) de N^{2} usamos a soma dos produtos da linha 1 de N pela coluna 3 de N:
a entrada (1,3) é N_{1,2}N_{2,3}+N_{1,3}N_{3,3}=1\cdot1 + 1\cdot0 = 1.
Todas as outras entradas acima da diagonal ficam zero porque não há caminhos de comprimento 2 que produzam outros elementos. Fazendo a multiplicação completa:
N^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora calcule N^{3}=N^{2}N. Mas N^{2} tem apenas uma entrada não nula em (1,3), e a coluna 3 de N é zero abaixo de (3,3), portanto
N^{3}=0.
Assim N é nilpotente de ordem 3.]

Passo 7

Usamos novamente a expansão binomial:
B^{n}=(I+N)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}N^{k}.
Como N^{3}=0, apenas os termos com k=0,1,2 são não nulos. Então
B^{n}=I + nN + \binom{n}{2}N^{2}.
Lembre que \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.

Passo 8

Agora calculamos a combinação matricial. Substituindo N e N^{2}:
nN=n\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & n & n\\[4pt]0 & 0 & n\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix},
\binom{n}{2}N^{2}=\frac{n(n-1)}{2}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 & \dfrac{n(n-1)}{2}\\[8pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Somando I + nN + \binom{n}{2}N^{2}, obtemos:
a entrada (1,1) é 1;
a entrada (1,2) é n (vem só de nN);
a entrada (2,2) é 1;
a entrada (2,3) é n;
a entrada (1,3) é n + \dfrac{n(n-1)}{2}.]

Passo 9

Simplifique a entrada (1,3):
n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n + n(n-1)}{2} = \frac{n(2 + n - 1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.
Portanto a matriz final fica
B^{n}=\begin{pmatrix} 1 & n & \dfrac{n(n+1)}{2}\\[8pt] 0 & 1 & n\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}^{n}= \begin{pmatrix}1 & n\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{n}= \begin{pmatrix}1 & n & \dfrac{n(n+1)}{2}\\[8pt]0 & 1 & n\\[6pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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