Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal.
A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes
A,\;B,\;C,\;D
são ortogonais.
Uma matriz Q é ortogonal se vale
Q^{T}Q = I,
ou seja, suas colunas formam um conjunto ortonormal.

Passo 2

Para a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
temos
A^{T} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},
logo
A^{T}A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I.
Portanto A é ortogonal.

Passo 3

Para
B=\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
temos
B^{T}B = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 0\\\ 0 & 5\end{pmatrix} =5I\neq I.
Então B não é ortogonal.

Passo 4

Para
C=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2\sqrt{2}}{3}\\[6pt] \frac{2\sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}
verificamos as colunas
\mathbf c_{1}=(\tfrac13,\tfrac{2\sqrt2}{3}) e
\mathbf c_{2}=(\tfrac{2\sqrt2}{3},-\tfrac13).
O quadrado da norma de cada uma é
\|\mathbf c_{i}\|^2 =\Bigl(\tfrac13\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{2\sqrt2}{3}\Bigr)^2 =\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1,
e o produto interno
\mathbf c_{1}\cdot\mathbf c_{2}=0.
Logo as colunas são ortonormais e C é ortogonal.]

Passo 5

Para
D=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{3} & \frac{\sqrt3}{3} & \frac{\sqrt3}{3}\\[4pt] -\frac{\sqrt6}{3} & \frac{\sqrt6}{6} & \frac{\sqrt6}{6}\\[4pt] 0 & -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}
chamemos as colunas de \mathbf d_{1},\mathbf d_{2},\mathbf d_{3}.
Cálculos diretos mostram
\|\mathbf d_{i}\|=1 para i=1,2,3 e
\mathbf d_{i}\cdot\mathbf d_{j}=0 se i\neq j.
Portanto D também é ortogonal.]

Resposta

A,\;C e D são ortogonais; B não é ortogonal.

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