Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal. A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right] Passo 1O enunciado pede para identificar quais das matrizes A,\;B,\;C,\;D são ortogonais. Uma matriz Q é ortogonal se vale Q^{T}Q = I, ou seja, suas colunas formam um conjunto ortonormal. Passo 2Para a matriz A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} temos A^{T} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, logo A^{T}A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I. Portanto A é ortogonal. Passo 3Para B=\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} temos B^{T}B = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 0\\\ 0 & 5\end{pmatrix} =5I\neq I. Então B não é ortogonal. Passo 4Para C=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2\sqrt{2}}{3}\\[6pt] \frac{2\sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} verificamos as colunas \mathbf c_{1}=(\tfrac13,\tfrac{2\sqrt2}{3}) e \mathbf c_{2}=(\tfrac{2\sqrt2}{3},-\tfrac13). O quadrado da norma de cada uma é \|\mathbf c_{i}\|^2 =\Bigl(\tfrac13\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{2\sqrt2}{3}\Bigr)^2 =\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1, e o produto interno \mathbf c_{1}\cdot\mathbf c_{2}=0. Logo as colunas são ortonormais e C é ortogonal.] Passo 5Para D=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{3} & \frac{\sqrt3}{3} & \frac{\sqrt3}{3}\\[4pt] -\frac{\sqrt6}{3} & \frac{\sqrt6}{6} & \frac{\sqrt6}{6}\\[4pt] 0 & -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix} chamemos as colunas de \mathbf d_{1},\mathbf d_{2},\mathbf d_{3}. Cálculos diretos mostram \|\mathbf d_{i}\|=1 para i=1,2,3 e \mathbf d_{i}\cdot\mathbf d_{j}=0 se i\neq j. Portanto D também é ortogonal.] Resposta A,\;C e D são ortogonais; B não é ortogonal. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja simétrica. B=\left[\begin{array}{ccc}8 & x+3 & -10 \\\\ 15 & -5 & -8 \\\ y-2 & 2 z & 9\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}8 & x^{2}+3 & -5 \\\\ 7 & -9 & 4 \\\ y+x & z+3 x & 11\end{array}\right]. Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja simétrica. B=\left[\begin{array}{ccc}8 & x+3 & -10 \\\\ 15 & -5 & -8 \\\ y-2 & 2 z & 9\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}8 & x^{2}+3 & -5 \\\\ 7 & -9 & 4 \\\ y+x & z+3 x & 11\end{array}\right]. Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal. A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right] Seja A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right], uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por \operatorname{tr}(A), é definido como sendo o número real \operatorname{tr}(A)=\sum_{k=1}^{n} a_{k k}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n} ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades: (a) \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B); (c) \operatorname{tr}\left(A^{T}\right)=\operatorname{tr}(A); (b) \operatorname{tr}(k A)=k \operatorname{tr}(A), onde k \in \mathbb{R}; (d) \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A). Verifique que se A é uma matriz m \times n, então os traços de A A^{T} e A^{T} A estão definidos. Em seguida prove que \operatorname{tr}\left(A A^{T}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{T} A\right).