Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
\left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\\\ 1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[6pt] 1 & -2\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores: uma matriz 2\times2 é diagonalizável se, e somente se, tiver dois autovalores (possivelmente iguais) com um total de duas direções próprias independentes. No caso de autovalores distintos, a diagonalização está garantida.]

Passo 2

Vamos encontrar o polinômio característico de A. Por definição,
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 4\\[3pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - 4\cdot1.
Expandindo,
(1-\lambda)(-2-\lambda) - 4 = (\,-2 - \lambda +2\lambda +\lambda^2\,) - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6.]

Passo 3

Os autovalores são raízes de
\lambda^2 + \lambda - 6 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2},
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\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -3.

Passo 4

Observamos que \lambda_1 e \lambda_2 são distintos. Em dimensão 2, isso garante a existência de dois autovetores linearmente independentes. Portanto, A é diagonalizável (no mesmo corpo que contém os autovalores, aqui \mathbb{R}).

Resposta

A matriz \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix} é diagonalizável.

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