Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis: \left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\\\ 1 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[6pt] 1 & -2\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores: uma matriz 2\times2 é diagonalizável se, e somente se, tiver dois autovalores (possivelmente iguais) com um total de duas direções próprias independentes. No caso de autovalores distintos, a diagonalização está garantida.]
Passo 2
Vamos encontrar o polinômio característico de A. Por definição,
Observamos que \lambda_1 e \lambda_2 são distintos. Em dimensão 2, isso garante a existência de dois autovetores linearmente independentes. Portanto, A é diagonalizável (no mesmo corpo que contém os autovalores, aqui \mathbb{R}).
Resposta
A matriz \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix} é diagonalizável.