Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\\\ 4 & 0 & 4 \\\\ 1 & -1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\\\ 4 & 0 & 4\\\\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso, precisamos encontrar o polinômio característico de A, determinar seus autovalores (raízes desse polinômio) e checar se a soma das dimensões dos respectivos espaços próprios é igual a 3. Se os autovalores forem todos distintos, já garantimos a diagonalizabilidade.

Passo 2

Calculamos o determinante de A - \lambda I:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & -2\\\\ 4 & -\lambda & 4\\\\ 1 & -1 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo, obtém-se
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\bigl[\,-\lambda(4-\lambda)-4(-1)\bigr] -1\bigl[\,4(4-\lambda)-4\cdot1\bigr] -2\bigl[\,4(-1)-(-\lambda)\cdot1\bigr].
Simplificando cada termo chega-se a
\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 +5\lambda^2 -6\lambda = -\lambda(\lambda-2)(\lambda-3).

Passo 3

As raízes do polinômio característico são \lambda=0, \lambda=2 e \lambda=3, todas com multiplicidade algébrica igual a 1. Como são três autovalores distintos em \mathbb{R}, cada um gera um espaço próprio de dimensão 1 e a soma das dimensões chega a 3. Portanto há base de autovetores.

Resposta

A matriz é diagonalizável, pois possui três autovalores distintos.

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