Verifique quais dos operadores e matrizes da questão 2 são diagonalizáveis. (Um operador é diagonalizável quando sua matriz de transformação em alguma base é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável quando é possível encontrar uma base de autovetores para V.)
7) Diagonalize a matriz A=\left(\begin{array}{rr}5 & 3 \\\\ 3 & -3\end{array}\right), i.e., encontre uma matriz M tal que M^{-1} A M é uma matriz diagonal. Verifique que M^{-1} A M=\left(\begin{array}{rr}\lambda_{1} & 0 \\\\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right), onde \lambda_{1}, \lambda_{2} são os autovalores de A.
e pede para diagonalizá‑la: encontrar uma matriz M inversível tal que
M^{-1} A M=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 \\[4pt] 0 & \lambda_{2}\end{pmatrix},
onde \lambda_{1},\lambda_{2} são os autovalores de A.
Informações relevantes que temos: os elementos de A (todas as entradas) e o pedido de formar M com autovetores, de modo que a similaridade transforme A numa matriz diagonal com autovalores na diagonal.]
Passo 2
Vamos calcular os autovalores de A usando o polinômio característico. Por definição, os autovalores são as soluções de \det(A-\lambda I)=0. Calculemos:
e confirmar fazendo a multiplicação completa M^{-1}AM, que resulta na mesma matriz diagonal.]
Passo 7
Comentário prático (útil para prova): como A é simétrica (A^T=A), os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais — por isso conseguimos escolher M com colunas ortogonais. Se quisermos uma matriz ortogonal P (com P^{-1}=P^T), basta normalizar as colunas v_{1},v_{2} dividindo cada uma pela norma \sqrt{10}; então P^T A P também será \operatorname{diag}(6,-4). Isso é particularmente prático sem calculadora, pois evita inversa explícita.