Verifique quais dos operadores e matrizes da questão 2 são diagonalizáveis. (Um operador é diagonalizável quando sua matriz de transformação em alguma base é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável quando é possível encontrar uma base de autovetores para V.)
7) Diagonalize a matriz A=\left(\begin{array}{rr}5 & 3 \\\\ 3 & -3\end{array}\right), i.e., encontre uma matriz M tal que M^{-1} A M é uma matriz diagonal. Verifique que M^{-1} A M=\left(\begin{array}{rr}\lambda_{1} & 0 \\\\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right), onde \lambda_{1}, \lambda_{2} são os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}
e pede para diagonalizá‑la: encontrar uma matriz M inversível tal que
M^{-1} A M=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 \\[4pt] 0 & \lambda_{2}\end{pmatrix},
onde \lambda_{1},\lambda_{2} são os autovalores de A.
Informações relevantes que temos: os elementos de A (todas as entradas) e o pedido de formar M com autovetores, de modo que a similaridade transforme A numa matriz diagonal com autovalores na diagonal.]

Passo 2

Vamos calcular os autovalores de A usando o polinômio característico. Por definição, os autovalores são as soluções de \det(A-\lambda I)=0. Calculemos:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 3 \\[4pt] 3 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(-3-\lambda)-3\cdot3.
Desenvolvendo:
(5-\lambda)(-3-\lambda)-9 = \bigl(\lambda^2-2\lambda-15\bigr)-9 = \lambda^2-2\lambda-24.
Portanto os autovalores são as raízes da equação
\lambda^2-2\lambda-24=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-24)}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4+96}}{2} =\frac{2\pm 10}{2}.
Logo
\lambda_{1}=6,\qquad \lambda_{2}=-4.]

Passo 3

Agora vamos achar vetores próprios (autovetores) associados a \lambda_{1}=6. Precisamos resolver (A-6I)v=0. Calculamos
A-6I=\begin{pmatrix}5-6 & 3 \\[4pt] 3 & -3-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 3 & -9\end{pmatrix}.
A equação (A-6I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 dá o sistema
- x + 3y = 0, \qquad 3x - 9y = 0.
As duas equações são equivalentes; da primeira vem x=3y. Tomando y=1 (escolha conveniente), um autovetor associado a \lambda_{1}=6 é
v_{1}=\begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
(Dar um múltiplo escalar de v_{1} gera o mesmo autovetor; escolhemos componentes inteiras para simplificar contas.)]

Passo 4

Agora achamos um autovetor para \lambda_{2}=-4. Resolvemos (A+4I)v=0:
A-(-4)I=A+4I=\begin{pmatrix}5+4 & 3 \\[4pt] 3 & -3+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
O sistema \begin{pmatrix}9 & 3 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0
9x + 3y = 0, \qquad 3x + y = 0.
Da segunda equação vem y=-3x. Tomando x=1, um autovetor correspondente é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificamos que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e orthogonais:
v_{1}\cdot v_{2} = \begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt] -3\end{pmatrix}=3-3=0.
Como são ortogonais e não-nulos, formam uma base de \mathbb{R}^2. Assim podemos montar a matriz M cujas colunas são esses autovetores:
M=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
Calculemos o determinante para confirmar que M é inversível:
\det M = 3\cdot(-3)-1\cdot1 = -9-1=-10\neq 0.
Portanto M é inversível e pode ser usada para diagonalizar A.]

Passo 6

Mostramos diretamente que A M = M D, onde D=\operatorname{diag}(6,-4). Multiplicando A pelas colunas de M:
A v_{1} = A\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\cdot3+3\cdot1 \\[4pt] 3\cdot3+(-3)\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}18\\[4pt] 6\end{pmatrix} =6\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=6 v_{1},
A v_{2} = A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\cdot1+3\cdot(-3) \\[4pt] 3\cdot1+(-3)\cdot(-3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\[4pt] 12\end{pmatrix} =-4\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}=-4 v_{2}.
Essas duas igualdades mostram que
A M = M \begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{pmatrix}.
Multiplicando à esquerda por M^{-1} obtemos
M^{-1} A M = \begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{pmatrix}.
Se desejar, pode-se calcular explicitamente
M^{-1}=\frac{1}{-10}\begin{pmatrix}-3 & -1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3/10 & 1/10 \\[4pt] 1/10 & -3/10\end{pmatrix},
e confirmar fazendo a multiplicação completa M^{-1}AM, que resulta na mesma matriz diagonal.]

Passo 7

Comentário prático (útil para prova): como A é simétrica ( A^T=A), os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais — por isso conseguimos escolher M com colunas ortogonais. Se quisermos uma matriz ortogonal P (com P^{-1}=P^T), basta normalizar as colunas v_{1},v_{2} dividindo cada uma pela norma \sqrt{10}; então P^T A P também será \operatorname{diag}(6,-4). Isso é particularmente prático sem calculadora, pois evita inversa explícita.

Resposta

M=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}
M^{-1} A M=\begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{pmatrix}]

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