Quais das transformações abaixo são lineares?
T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, T(A)=\operatorname{det}(A),

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T com domínio e contradomínio explicitados e define como ela age nos elementos do domínio. Especificamente:
  • Domínio: o espaço das matrizes 2\times2 reais, M_{2\times2}(\mathbb{R}).
  • Contradomínio: os números reais, \mathbb{R}.
  • Regra: para cada matriz A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}), T(A)=\det(A).
O que se pede: verificar se essa transformação T é linear (ou seja, se satisfaz as propriedades exigidas para ser uma transformação linear).

Passo 2

Definição (passo-a-passo) do que significa “ser linear”: uma transformação T de um espaço vetorial V para outro W é linear se, para todos X,Y\in V e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem simultaneamente as duas propriedades abaixo:
\text{(Aditividade)}\quad T(X+Y)=T(X)+T(Y),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Aqui:
  • X e Y representam matrizes quaisquer em M_{2\times2}(\mathbb{R}).
  • \lambda representa qualquer número real.
    Para concluir que T é linear é necessário que ambas as igualdades sejam verdadeiras para todas as escolhas de X,Y,\lambda. Se ao menos uma delas falha para algum exemplo, T não é linear.

Passo 3

Teste da homogeneidade (explicado e com exemplo concreto).
Primeiro uma fórmula útil sobre determinantes: para uma matriz A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e escalar \lambda,
\det(\lambda A)=\lambda^{2}\det(A).
Explicação de por que isso vale: se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix},
logo
\det(\lambda A)=(\lambda a)(\lambda d)-(\lambda b)(\lambda c)=\lambda^{2}(ad-bc)=\lambda^{2}\det(A).
Isso mostra que o determinante é homogêneo de grau 2 (não de grau 1). Agora um contraexemplo direto para a propriedade de homogeneidade exigida por linearidade: escolha \lambda=2 e A=I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}. Então
\det(2I)=2^{2}\det(I)=4\cdot 1=4,
mas
2\det(I)=2\cdot 1=2.
Como 4\neq 2, a igualdade T(2I)=2T(I) falha. Portanto a propriedade de homogeneidade não vale em geral, e isso já basta para concluir que T não é linear.]

Passo 4

Teste da aditividade (mostrando outra razão para a não linearidade).
Escolha dois exemplos simples:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcula-se
\det(A)=1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0, \qquad \det(B)=0\cdot 1 - 0\cdot 0 = 0.
Por outro lado,
A+B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
e
\det(A+B)=\det(I)=1.
Assim
\det(A+B)=1 \neq 0+0=\det(A)+\det(B).
Portanto a aditividade também falha em geral. Isso reforça (além do teste de homogeneidade) que T não é linear.]

Passo 5

Interpretação e observações pedagógicas (para entender “por que” de forma didática).
  • O determinante é uma função polinomial dos elementos da matriz; no caso 2\times2 é um polinômio quadrático nas entradas (grau 2). Linearidade exigiria um polinômio de grau 1.
  • Uma propriedade útil a saber: o determinante é multilinear em relação às linhas (ou colunas) separadamente — isto é, se se variar apenas uma linha mantendo as outras fixas, a dependência é linear nessa linha. Mas isso NÃO significa que a função inteira A\mapsto\det(A) seja linear como função do objeto “matriz” todo; a homogeneidade global dá um fator \lambda^2 ao escalar a matriz inteira.
  • Existem casos triviais onde T age como uma aplicação linear (por exemplo restringindo o domínio ao subconjunto \{0\}, ou se considerar apenas matrizes em que sempre \det obedece certas condições), mas na aplicação em todo M_{2\times2}(\mathbb{R}) a linearidade NÃO se mantém.

Resposta

T não é linear.

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