Quais das transformações abaixo são lineares?
,
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
com domínio e contradomínio explicitados e define como ela age nos elementos do domínio. Especificamente:
- Domínio: o espaço das matrizes
reais, . - Contradomínio: os números reais,
. - Regra: para cada matriz
,
O que se pede: verificar se essa transformação
é linear (ou seja, se satisfaz as propriedades exigidas para ser uma transformação linear).
Passo 2
Definição (passo-a-passo) do que significa “ser linear”: uma transformação
de um espaço vetorial
para outro
é linear se, para todos
e todo escalar
, valem simultaneamente as duas propriedades abaixo:
Aqui:
-
e representam matrizes quaisquer em . -
representa qualquer número real.
Para concluir queé linear é necessário que ambas as igualdades sejam verdadeiras para todas as escolhas de . Se ao menos uma delas falha para algum exemplo, não é linear.
Passo 3
Teste da homogeneidade (explicado e com exemplo concreto).
Primeiro uma fórmula útil sobre determinantes: para uma matriz e escalar
,
Primeiro uma fórmula útil sobre determinantes: para uma matriz
Explicação de por que isso vale: se
então
logo
Isso mostra que o determinante é homogêneo de grau
(não de grau
). Agora um contraexemplo direto para a propriedade de homogeneidade exigida por linearidade: escolha
e
. Então
mas
Como
, a igualdade
falha. Portanto a propriedade de homogeneidade não vale em geral, e isso já basta para concluir que
não é linear.]
Passo 4
Teste da aditividade (mostrando outra razão para a não linearidade).
Escolha dois exemplos simples:
Escolha dois exemplos simples:
Calcula-se
Por outro lado,
e
Assim
Portanto a aditividade também falha em geral. Isso reforça (além do teste de homogeneidade) que
não é linear.]
Passo 5
Interpretação e observações pedagógicas (para entender “por que” de forma didática).
- O determinante é uma função polinomial dos elementos da matriz; no caso
é um polinômio quadrático nas entradas (grau ). Linearidade exigiria um polinômio de grau . - Uma propriedade útil a saber: o determinante é multilinear em relação às linhas (ou colunas) separadamente — isto é, se se variar apenas uma linha mantendo as outras fixas, a dependência é linear nessa linha. Mas isso NÃO significa que a função inteira
seja linear como função do objeto “matriz” todo; a homogeneidade global dá um fator ao escalar a matriz inteira. - Existem casos triviais onde
age como uma aplicação linear (por exemplo restringindo o domínio ao subconjunto , ou se considerar apenas matrizes em que sempre obedece certas condições), mas na aplicação em todo a linearidade NÃO se mantém.