Verifique que os polinômios 1,1+t, 1-t^{2} e 1-t^{2}-t^{3} formam uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que os polinômios 1,\;1+t,\;1-t^{2} e 1-t^{2}-t^{3} formam uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os quatro vetores (polinômios) são p_{1}(t)=1, p_{2}(t)=1+t, p_{3}(t)=1-t^{2} e p_{4}(t)=1-t^{2}-t^{3}.
  • O espaço considerado é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
O objetivo é mostrar que o conjunto \{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\} é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 2

Relembrando (em linguagem simples) o que significa ser base:
  • Um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial se for linearmente independente e gerar (ou seja, span) todo o espaço.
  • Uma forma prática, quando o espaço tem dimensão finita n, é: se temos exatamente n vetores e eles são linearmente independentes, então automaticamente formam uma base (porque em espaço de dimensão n um conjunto de n vetores linearmente independentes gera o espaço).
    Aqui convém lembrar que \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, porque um conjunto padrão que gera esse espaço é \{1,t,t^{2},t^{3}\}, que tem 4 elementos. Portanto, basta provar que os quatro polinômios dados são linearmente independentes.

Passo 3

Definição prática de linear independência que vamos usar: os vetores p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_{1}p_{1}(t)+\alpha_{2}p_{2}(t)+\alpha_{3}p_{3}(t)+\alpha_{4}p_{4}(t)=0
para todo t (o polinômio nulo) for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0. Aqui \alpha_{i}\in\mathbb{R}.
Escrevemos explicitamente a combinação linear:
\alpha_{1}\cdot 1+\alpha_{2}\cdot(1+t)+\alpha_{3}\cdot(1-t^{2})+\alpha_{4}\cdot(1-t^{2}-t^{3})=0.

Passo 4

Agora vamos agrupar termos por potências de t. Primeiro escrevo o lado esquerdo como soma dos coeficientes de cada potência:
  • Coeficiente do termo t^{0} (constante): \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}.
  • Coeficiente do termo t^{1}: \alpha_{2}.
  • Coeficiente do termo t^{2}: -\alpha_{3}-\alpha_{4}.
  • Coeficiente do termo t^{3}: -\alpha_{4}.
Como a soma é o polinômio zero, todos esses coeficientes devem ser zero. Obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0,\\[4pt] \alpha_{2}=0,\\[4pt] -\alpha_{3}-\alpha_{4}=0,\\[4pt] -\alpha_{4}=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da quarta equação temos -\alpha_{4}=0, logo \alpha_{4}=0.
  • Substituindo em -\alpha_{3}-\alpha_{4}=0 -\alpha_{3}-0=0, logo \alpha_{3}=0.
  • Da segunda equação \alpha_{2}=0.
  • Finalmente, da primeira equação \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0 obtemos \alpha_{1}+0+0+0=0, logo \alpha_{1}=0.
Portanto a única solução é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0.

Passo 6

Concluímos que os polinômios p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} são linearmente independentes. Como \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e temos 4 vetores linearmente independentes, pelo resultado padrão de espaços vetoriais finitos esse conjunto gera \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Logo o conjunto é uma base.
Um jeito alternativo (equivalente) seria escrever a matriz das coordenadas desses polinômios na base padrão \{1,t,t^{2},t^{3}\} e verificar que o determinante é não nulo; o cálculo que fizemos acima é exatamente essa verificação de independência, mas feita diretamente com os coeficientes.

Resposta

Os polinômios 1,\;1+t,\;1-t^{2} e 1-t^{2}-t^{3} formam uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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