Quais dos subconjuntos de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) são linermente independentes ? \left\{x^{4}+x+1, x^{3}-x+1, x^{2}-1\right\}
Passo 1
O enunciado pergunta se o subconjunto \{\,x^{4}+x+1,\;x^{3}-x+1,\;x^{2}-1\,\} de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) é linearmente independente.
Informações dadas: \;p_{1}(x)=x^{4}+x+1,\;p_{2}(x)=x^{3}-x+1,\;p_{3}(x)=x^{2}-1.
Passo 2
Definição que vamos usar (muito importante): um conjunto de polinômios \{p_{1},p_{2},\dots,p_{k}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\dots=\alpha_{k}=0, onde 0 é o polinômio nulo (todos os coeficientes zero). Em outras palavras: só a combinação linear trivial produz o polinômio zero.
Passo 3
Escrevemos a combinação linear geral das três funções, com escalares desconhecidos \;a,b,c\in\mathbb{R}:
a\,(x^{4}+x+1)+b\,(x^{3}-x+1)+c\,(x^{2}-1)=0.
Aqui 0 é o polinômio nulo (ou seja, o polinômio que tem coeficiente zero para toda a potência de x).
Passo 4
Expandimos e agrupamos os termos por potência de x. Fazendo a conta:
a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+(a-b)x+(a+b-c)=0.
Explicando cada termo: o coeficiente de x^{4} vem só de a x^{4}; o de x^{3} vem só de b x^{3}; o de x^{2} vem só de c x^{2}; o de x vem de a (de a x) e de -b (de -b x), daí a-b; a constante vem de a\cdot1+b\cdot1+c\cdot(-1)=a+b-c.
Passo 5
Como dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes correspondentes de todas as potências são iguais, devemos ter o sistema (coeficientes iguais a zero):
\begin{cases} \text{coeficiente de }x^{4}: & a = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x^{3}: & b = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x^{2}: & c = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x^{1}: & a-b = 0,\\[4pt] \text{coeficiente constante:} & a+b-c = 0. \end{cases}
Das três primeiras equações já obtemos imediatamente a=0,\;b=0,\;c=0. Essas soluções satisfazem automaticamente as duas últimas equações (verificação rápida: a-b=0-0=0 e a+b-c=0+0-0=0). Portanto a única solução do sistema é a solução trivial a=b=c=0.]
Passo 6
Concluímos, pelo item da definição no Passo 2, que só a combinação linear trivial gera o polinômio nulo. Logo os três polinômios são linearmente independentes. Intuitivamente: nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois porque as potências x^{4}, x^{3} e x^{2} aparecem isoladamente nos coeficientes a,b,c, forçando esses coeficientes a serem zero.
Resposta
O conjunto \{\,x^{4}+x+1,\;x^{3}-x+1,\;x^{2}-1\,\} é linearmente independente.