Verifique a propriedade indicada das seguintes fórmulas através de Tableaux:
( \mathrm{p} \vee \mathrm{q} ) \wedge(\neg \mathrm{r} \vee(\mathrm{q} \wedge \neg \mathrm{p})), satisfatibilidade, mostrando, caso seja, o modelo para a fórmula.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, via método de Tableaux, se a fórmula
(p\vee q)\wedge\bigl(\neg r\vee(q\wedge\neg p)\bigr)
é satisfatível. Se for, devemos apresentar um modelo que a torne verdadeira.

Passo 2

Aplicamos a regra da conjunção na fórmula inicial, obtendo duas fórmulas a satisfazer simultaneamente:
1.\;p\vee q \quad\text{e}\quad 2.\;\neg r\vee(q\wedge\neg p).

Passo 3

Na fórmula 1.\;p\vee q usamos a regra da disjunção, gerando dois ramos:
(1A) p
(1B) q.

Passo 4

Em cada um desses ramos aplicamos a disjunção da fórmula 2.\;\neg r\vee(q\wedge\neg p), o que gera, a partir de cada ramo de 1., dois sub-ramos com:
\begin{aligned} &\neg r,\\\ &q\wedge\neg p. \end{aligned}
Assim há quatro ramos completos, que contêm respectivamente:
(1A1) p,\;\neg r
(1A2) p,\;q\wedge\neg p
(1B1) q,\;\neg r
(1B2) q,\;q\wedge\neg p.

Passo 5

Expandimos a conjunção q\wedge\neg p nos ramos 1A2 e 1B2, obtendo:
(1A2) p,\;q,\;\neg p
(1B2) q,\;q,\;\neg p
— em 1B2 o fato de q repetir não cria conflito.

Passo 6

Agora identificamos quais ramos ficam abertos (sem contradição):
  • Ramo 1A1: tem p e \neg r. Não há p e \neg p juntos → aberto.
  • Ramo 1A2: tem p e \neg p → fechado.
  • Ramo 1B1: tem q e \neg r. Não há conflito → aberto.
  • Ramo 1B2: tem q e \neg p. Não há p em positivo para contradizer → aberto.
    Há pelo menos um ramo aberto, logo a fórmula é satisfatível.

Passo 7

Extraímos um modelo de qualquer ramo aberto. Por exemplo, do ramo 1A1 tomamos as atribuições
p=\text{V},\quad r=\text{F},
e q pode ser arbitrário (por exemplo q=\text{F}). Esse modelo satisfaz (p\vee q) porque p é verdadeiro, e \neg r\vee(q\wedge\neg p) porque \neg r é verdadeiro.

Resposta

A fórmula é satisfatível. Um modelo possível é
p=\text{V},\quad q=\text{F},\quad r=\text{F}.

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