Verifique a propriedade indicada das seguintes fórmulas através de Tableaux:
(\mathrm{p} \wedge(\mathrm{p} \vee \mathrm{q})) \wedge(((\neg \mathrm{p} \vee \neg \mathrm{q}) \vee \mathrm{r}) \wedge(\mathrm{p} \vee \neg \mathrm{r})), satisfatibilidade, mostrando, caso seja, o modelo para a fórmula.

Passo 1

O enunciado pede verificar, via método de Tableaux, a satisfatibilidade da fórmula
(p \wedge (p \vee q)) \wedge \bigl(((\neg p \vee \neg q)\vee r)\wedge(p\vee \neg r)\bigr).
O conteúdo é lógica proposicional e o que precisamos é montar um Tableau semântico assumindo a fórmula verdadeira, aplicar as regras de conjunção (não ramifica) e disjunção (ramifica) e identificar se existe algum ramo aberto. Se houver ramo aberto, a fórmula é satisfatível e podemos extrair um modelo atribuindo aos átomos os valores indicados pelos literais do ramo.

Passo 2

Assumimos a fórmula inteira como verdadeira e aplicamos a regra de conjunção em cascata. De
(p \wedge (p \vee q)) \wedge \bigl(((\neg p \vee \neg q)\vee r)\wedge(p\vee \neg r)\bigr)
extraímos na mesma ramificação os três componentes:
p \wedge (p \vee q),
(\neg p \vee \neg q)\vee r,
p\vee \neg r.
Em particular, de p \wedge (p\vee q) tiramos p e p\vee q no ramo. Até agora não há contradição.

Passo 3

Explicação das regras aplicadas até agora:
  • Regra \alpha (conjunção): de \alpha\wedge\beta colocamos \alpha e \beta no mesmo ramo.
  • Regra \beta (disjunção): de \alpha\vee\beta criamos dois ramos, um com \alpha e outro com \beta.
No nosso caso, já temos sem ramificação direta as fórmulas p, p\vee q, (\neg p\vee\neg q)\vee r e p\vee\neg r no único ramo.

Passo 4

Agora aplicamos a regra \beta em (\neg p\vee\neg q)\vee r. Isso gera dois ramos:
Ramo 1: \neg p\vee\neg q verdadeiro.
Ramo 2: r verdadeiro.

Passo 5

No Ramo 1 temos \neg p\vee\neg q, aplicamos outra regra \beta e bifurcamos:
  • Subramo 1.1: \neg p. Mas no ramo principal já tínhamos p. Assim p e \neg p fecham esse subramo.
  • Subramo 1.2: \neg q. Aqui temos apenas p e \neg q. Não há mais fórmulas para decompor (em p\vee q e p\vee\neg r basta que p seja verdadeiro) e não aparece contradição. Este subramo permanece aberto.
No Ramo 2 temos r junto com p. As disjunções p\vee q e p\vee\neg r já estão satisfeitas por p, não há mais expansões nem contradições, então este ramo também fica aberto.

Passo 6

Como existe pelo menos um ramo aberto, a fórmula é satisfatível. Do Subramo 1.2 (ou do Ramo 2) extraímos um modelo:
  • p deve ser verdadeiro.
  • \neg q indica q falso.
  • r não foi fixado em Subramo 1.2, então podemos escolher r= falso (ou verdadeiro) — no Ramo 2 poderíamos escolher q arbitrariamente.
Uma atribuição funciona, por exemplo:
p = \text{V},\quad q = \text{F},\quad r = \text{F}.

Resposta

A fórmula é satisfatível. Um modelo é
p = \text{V},\quad q = \text{F},\quad r = \text{F}.

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