Verifique a propriedade indicada das seguintes fórmulas através de Tableaux:
(
)
, validade, mostrando, caso não seja, um contraexemplo.
(
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a fórmula
é válida, usando o método de tableaux. Vamos precisar aplicar as regras de tableaux para valor falso em uma implicação, valor verdadeiro em disjunção e valor falso em implicação, e mostrar que todas as ramificações fecham.
Passo 2
Para provar validade, assumimos que a fórmula é falsa. Logo, na raiz do tableau temos
F: .
F:
Passo 3
Aplicamos a regra de F para implicação: de F:
infere-se T:
e F:
. Assim obtemos
T:
F: .
T:
F:
Passo 4
Em seguida aplicamos a regra de F para
: de F:
infere-se T:
e F:
. Agora temos as fórmulas
T: ,
T: ,
F: .
T:
T:
F:
Passo 5
Agora aplicamos a regra de T para disjunção em T:
. Isso gera duas ramificações:
Ramo 1 com T:
Ramo 2 com T:
Ramo 1 com T:
Ramo 2 com T:
Passo 6
No ramo 1 unimos T:
com T:
e F:
. A conjunção de T:
e T:
é contraditória, então esse ramo fecha.
Passo 7
No ramo 2 unimos T:
com F:
e T:
. A conjunção de T:
e F:
também é contraditória, então esse ramo fecha também.
Passo 8
Como todas as ramificações do tableau fecham, o tableau está fechado. Pelo método de tableaux, isso significa que a fórmula original é válida.
Resposta
A fórmula
é válida (tautologia).