Verifique se S é LI ou LD:
S=\{t(t-1), t^{2}(t-1), t\} \subset P_{4}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios \{t(t-1),\,t^{2}(t-1),\,t\}\subset P_{4}(\mathbb{R})
é linearmente independente ou dependente. O conteúdo aqui é o teste de independência linear em um espaço de polinômios.

Passo 2

Para checar independência linear, montamos a combinação linear nula:
a\,t(t-1) + b\,t^{2}(t-1) + c\,t = 0
onde 0 representa o polinômio zero. Se só existir a solução trivial a=b=c=0, então o conjunto é LI.

Passo 3

Expandindo cada termo temos
a\,(t^2 - t) + b\,(t^3 - t^2) + c\,t = 0
ou seja
b\,t^3 + (a - b)\,t^2 + (-a + c)\,t + 0 = 0.
Igualando coeficientes de cada potência de t\): \[\begin{cases} b = 0,\\\ a - b = 0,\\\\ -\,a + c = 0,\\\ \text{constante: }0=0. \end{cases}
Da primeira equação vem b=0\]. Da segunda, \(a=b=0. Da terceira, c=a=0.

Passo 4

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que não há combinação não trivial que zere esses polinômios. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

Exercícios relacionados